Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Если умножение в кольце А обладает нейтральным элементом, он называется единичным элементом или единицей кольца А и часто обозначается 1 (если это не может повлечь путаницы). Точно так же, говоря о регулярных, или обратимых, или перестановочных, или центральных элементах, или центре кольца А, имеют в виду регулярность, обратимость и т. д. относительно заданного в А умножения.
Закон, противоположный заданному в кольце А умножению, вместе со сложением также определяет в А структуру кольца; она называется противоположной первоначально заданной; два кольца с противоположными структурами называются противоположными.
Кольцо называют коммутативным, если его умножение коммутативно; такое кольцо совпадает со своим противоположным.
В кольце А сложение и два внешних закона, получающиеся путем раздвоения (§ 3, п° 2) умножения, определяют структуру коммутативной группы с операторами, причем областью операторов каждого из этих двух внешних законов служит само А; левой (соответственно правой) гомотетией кольца А, соответствующей любому его элементу а, называется эндомррфизм х^->ах (соответственно х—>ха) аддитивной группы А.
I
КОЛЬЦА И КОЛЬЦА G ОПЕРАТОРАМИ
137
Примеры колец. I. Кольцо рациональных целых чисел. Мы определили на множестве Z рациональных целых чисел сложение (§ 2, п° 5) и умножение (§ 2, н° 8); при этом сложение является законом коммутативной группы, а умножение двояко дистрибутивно относительно сложения; следовательно, Z, наделенное этими двумя законами, есть кольцо; оно называется кольцом рациональных це.гых чисел. Очевидно, это кольцо коммутативно и имеет +1 своим единнчным элементом.
II. ^Полиномы вещественного переменного с вещественными (или же целыми) коэффициентами образуют коммутативное кольцо, имеющее своим единичным элементом постоянную 1 (CM. главу IV). Более общим образом, вещественные функции вещественного переменного образуют коммутативное кольцо, имеющее постоянную 1 своим единичным элементом. 0
III. В любой (аддитивно записываемой) коммутативной группе G можно определить структуру коммутативного кольца, приняв за умножение закон (х, у) —0, который ассоциативен, коммутативен и дистрибутивен относительно сложения. Можно также сказать, что это умножение определено условием GG — {0}; кольца, удовлетворяющие этому условию, называются кольцами с нулевым квадратом', такое кольцо, если только оно не сводится к одному нулю, очевидно, не имеет единичного элемента.
IV. Кольцо эндоморфизмов коммутативной группы. Пусть G— аддитивно записываемая коммутативная группа. Множество Gg всех ее отображений в себя наделено двумя ассоциативными законами композиции: с одной стороны, законом (/, g) —>f + g (напомним, что h = f+g есть отображение GbG такое, что h (х) = / (х) + g (х) для всех x?G), определяющим в Gg структуру коммутативной группы (§ 6, п° 5), и, с другой стороны, законом (/, g) —>f°g, который мы будем обозначать здесь f-g. Множество E всех эндоморфизмов группы G есть подгруппа коммутативной группы G0; действительно, если / и g— эндоморфизмы и A = f—g, то h(x+y) = f(x + y) — g{x+y) = = f(x)+f(y) - (g (х) + g (У)) = (/ (х) - g (х)) + (/ (у) - g (у)) = h(x) + + h(y), так что h — эндоморфизм. Очевидно, при этом E устойчиво относительно закона (/, g)->f-g', наконец, закон, индуцируемый на E этим последним законом, двояко дистрибутивен относительно закона (/, g) —>/+ g; действительно, если <p = (g-f- h)-f, то ф (х) =
138
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
гл. і, § 8
= g(f(x)) + h(f(x)), так что <р = g-f+h-f; с другой стороны, если y = f-(g + h),ioy(x)=f(g(z) + k (х)) = f(g (х)) + / (h (х)) (поскольку /—эндоморфизм), и значит, гр = /•? + /¦ А.
Таким образом, структура, индуцированная в E рассмотренными двумя законами, есть структура кольца; наделенное этой структурой, E называется кольцом эндоморфизмов группы G. Кольцо эндоморфизмов коммутативной группы G всегда обладает единицей, а именно тождественным отображением G на себя; но оно, вообще говоря, не коммутативно (см. упражнение 2).
Кольца, определенные описанным способом, играют в алгебре важную роль (см. главы II и VIII).
Заметим, что кольцо эндоморфизмов коммутативной группы Z изоморфно кольцу Z рациональных целых чисел (§ 2, п° 8).
2. Кольца с операторами
Определение 2. Кольцом с операторами называют множество А, наделенное структурой кольца и одним или несколькими внешними законами композиции, дистрибутивными относительно сложения в А и такими, что для любого из них, если записывать его в виде (а, х)—^ах, тождественно
а(ху) = {ах)у = х{ау). (7)
Внешние законы композиции кольца с операторами А вместе с двумя внешними законами, получающимися путем раздвоения заданного в А умножения, определяют в А (вместе со сложением в качестве внутреннего закона) структуру коммутативной группы с операторами; условие (7) выражает, что внешние законы кольца А перестановочны (§ 5, п° 3) с каждым из двух внешних законов, получающихся путем раздвоения умножения.
Эндоморфизмы *—>- ах структуры аддитивной группы (без операторов) в А, порождаемые операторами а кольца А, часто называются его внешними гомотетиями', таким образом, они перестановочны (в кольце эндоморфизмов аддитивной группы А) с левыми и правыми гомотетиями кольца А; можно также сказать, что это есть эндоморфизмы структуры группы с операторами в А, определяемой сложением и двумя внешними законами, получающимися путем раздвоения умножения.
