Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
4. Инварианты группы операторов. Труппы автоморфизмов
Определение 2. Пусть Е — множество, наделенное группой операторов G. Говорят, что элемент х?Е есть инвариант группы G (или что х инвариантен относительно G, или что G оставляет х инвариантным), если х инвариантен относительно всех операторов группы G (иными словами, если ах = х для каждого а ? (?)•
Задание представления / группы G на группу Г преобразовании множества E превращает G в группу операторов на E (п° 2); инвариант этой группы операторов называется также инвариантом группы G относительно представления f.
Более общим образом, пусть, скажем, F1, F2, F3 — три множества, Ti (? = 1,2, 3) — группа преобразований множества FifHi-представление G на Ti и M — множество шкалы, имеющей в качестве базы множества F1, F2, F3 (или инвариантное подмножество множества этой шкалы). Если о—> ом — распространение представлений Ji1, h2, h3 на M (п° 3), инвариант группы G относительно этого представления называют (допуская вольность речи) ее инвариантом относительно представлений Ti1, h2, h3.
Важным частным случаем этого понятия является, понятие инвариантного отображения относительно группы G. Пусть К
4:
ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
123
и L — два множества шкалы, имеющей в качестве базы множества F1, F2, F3; отображение w множества KbL называют инвари-антным относительно G, если oL (w (z)) == w (ок (z)) для всех z?K и a^G. В этом случае говорят также, что w (z) есть ковариант элемента 2 (относительно группы G и представлений Ii1, h2, Ji3).
Рассматривая группу преобразований Г, множества F1 и говоря, без дальнейших уточнений, о ее инварианте в множестве M шкалы, имеющей в качестве базы множества F1 и, скажем, F2, F ,, имеют в виду инвариант группы Г, относительно канонического представления (п° 3) Г, в Єд г.
Примеры. 1) Пусть Г — группа преобразований мпожества E и а — произвольный элемент из Е. Множество всех элементов а (а), где 0 пробегает Г, есть подмножество множества Е, инвариантное ¦относительно Г (см. п° 5).
2) Пусть в множестве F задан аддитивно записываемый коммутативный ассоциативный закон композиции. Рассмотрим множество P всех последовательностей (?j)1<i<ri по п элементов из F, т. е. множество всех отображений интервала /=[1, л] CZ N в F; относя каждому эле-
П
менту (Xi) из P элемент ^ Xi из F, мы получим отображение PbF,
i=i
являющееся, как вытекает из теоремы коммутативности (§ 1, теорема 3), инвариантом симметрической группы <?п = <В[ *).
Точно так же, если, в частности, взять за F множество Z рациональных целых чисел “(или коммутативное кольцо)0, произведение
IJ (z-J — Xi), рассматриваемое как отображение P в Z, является
инвариантом знакопеременной группы Sln (но не симметрической группы @п).
°3) В трехмерном вещественном евклидовом пространстве .E=Rb расстояние
У (х' — ж)2 + (у'— y)2+(z'— z)2
между точками (х, у, z) и (х', у', г'), рассматриваемое как отображение ExE в R, есть инвариант группы движений (см. главу IX).0
П
*) Выражение 2 Xi есть только одна из так называемых «симметриче-
I= 1
«НИХ функций» OT Xj, X2, ..., Xn (CM. главы III и V), которые все являются инвариантами относительно группы от этого свойства и происходит наименование «симметрическая группа».
124
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
ГЛ. I, § ~
Замечание. Если заданы группа преобразований Г множества E и множество M шкалы, имеющей в качестве базы E (и, возможно, еще некоторые другие множества), то не следует смешивать подмножество множества M, инвариантное относительно Г (элемент йз ф (М)у инвариантный относительно Г), и множество элементов из М, инвариантных относительно Г (такое множество очевидно является элементом из % {М), инвариантным относительно Г, но обратное, вообще говоря, неверно).
Теорема 1. Пусть E — множество, наделенное группой операторов G, и А — его непустое подмножество. Множество H всех операторов a ?G, оставляющих инвариантным каждый элемент из А, есть подгруппа группы G.
Действительно, если ах = х и fix = х, то также (сф)а; = а(Р;г)= = ах = х и CL1X = а^(ах) = (а~1а)х = ех = х (где є — нейтральный элемент группы G).
Каково бы ни было у ? G, множество всех операторов а ? G, оставляющих инвариантным каждый элемент из уА, есть подгруппа YНу'1, поскольку отношение аух=ух эквивалентно отношению (у~1ау)х=х.
Допуская вольность речи, говорят, что так определенная подгруппа H есть подгруппа группы G, оставляющая инвариантными элементы множества А.
Замечание. Множество всех инвариантов этой подгруппы очевидно содержит А, но может содержать и элементы из Е, не принадлежащие А.
Пример. “Подгруппа группы движений евклидова пространства, оставляющая инвариантными две различные точки,— это группа всех вращений вокруг соединяющей эти точки прямой и, значит, оставляет инвариантными все точки этой прямой.„
Рассмотрим, в частности, структуру if, заданную в множестве E (Теор. мн., Рез., § 8). Это — элемент некоторого множества M шкалы, имеющей в качестве базы множество E и некоторое число вспомогательных множеств. Каждая подстановка / множества Е, образ которой в Вм (при каноническом отображении Be в Вм) оставляет элемент aT инвариантным, есть, по определению (Теор. мн., Рез., § 8, п° 5), автоморфизм структуры if. Такам образом:
