Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, произведение аЪ определено, каковы бы ни были agZ, b?Z. Для mgN, п ? N имеем ( — т)п=—(тп), т( — п) = — (тп), ( — т) ( — п) = тп, откуда непосредственно следует, что умножение в Z ассоциативно и коммутативно; по самому способу, каким было получено произведение, имеем х(у-\-г) =
= xy-\-xz, откуда (по коммутативности) (x-\-y)z = xz-\-yz, каковы бы ни были х, у, z, и X-O = O-X = O, X-I = I- X = X.
Очевидно, N есть устойчивое множество относительно так определенного в Z умножения; иными словами, отношения х>0, г/>0 влекут хг/>0. Поэтому, если х<і/ и z>0, то z(y — х)>0, т. е. ZX K.zy.
В § 8 (n° 1) мы увидим, что рассуждение, приведшее к определению умножения в Z, позволяет при надлежащем его обобщении определить кольцо эндоморфизмов произвольной коммутативной группы.
О. Обозначения элемента, симметричного данному
Множество Z рациональных целых чисел позволяет ввести
* П
обозначение, содержащее обозначение Jx, введенное в п° 3 §1, как
частный случай. Напомним, что для ассоциативного закона T >
о
обладающего нейтральным элементом е, мы положили T х = е, каково бы ни было х; если при этом существует элемент х\
1 H. Бурбаки
50
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
ГЛ. I, § 2
— Tl Tl
симметричныйх, то, по определению, полагают Jx-Jx', каково
а
бы ни было ngN*: тогда T х определено, каково бвд ни было
-і
ag Z, и, в частности, имеем Jх—х . Легко убедиться в том, что, каковы бы ни были а ? Z, Ь g Z,
a-j-b а Ь
T X = (Jx)J (т х), (1)
ab а b
TZ= T (т®). (2)
Сделаем еще несколько общих замечаний относительно терминологии и обозначений для законов композиции, записываемых аддитивно или мультипликативно:
а) Если только определенно не указано противное, + употребляется лишь для обозначения коммутативного ассоциативного закона композиции элементов некоторого множества Е. Для обозначаемого так закона считают -\-х, где х^Е, означающим само х; если при этом х симметризуемо, то элемент, симметричный х, обозначается —хм чаще всего называется противоположным х. Кроме того, композиция х-\-( — у) обозначается сокращенно х — у, аналогично такие обозначения, как x-\-y — z,x — y — z,x — y-\-4-z—t, означают соответственно Xjr у-f (— z), xJr{ — y)Jr{ — z), х -f (— у) -}- г -j- ( — t). Наконец, во всех случаях, когда композицию последовательности из п (regN*) элементов, каждый из которых равен х, обозначают пх и в E существует нейтральный элемент, уславливаются понимать под 0 х этот нейтральный элемент (а самого его чаще всего обозначать 0 и соответственно именовать нулем); если же х обладает противоположным элементом — х, то через ( — п)х обозначают элемент п( — х)=—(пх).
б) Если только определенно не указано противное, мультипликативное обозначение употребляется только для ассоциативного закона. При такой записи закона, если существует элемент х , симметричный х, его чаще всего называют обратным к а;, а элемент х — обратимым", при тех же условиях ха, где agZ, означает
а
элемент, обозначавшийся выше для закона T через T х; в частности, элемент, обратный х, обозначается а:"1.
О НЕЙТРАЛЬНЫЙ, РЕГУЛЯРНЫЕ, СИММЕТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 51
Если, кроме того, рассматриваемый мультипликативный закоп коммутативен (и только в этом случае), а 1 означает нейтральный элемент (чаще всего называемый в этом случае, соответственно его обозначению, единицей), то иногда уславливаются, если
1
у обратимо, записывать элемент у 1 в виде — и элемент ху'1 = у~}х ¦ в виде -у- ; вместо -у- пишут также xly, если только это не может
вызвать путаницу. Элемент, обозначаемый таким способом, называют дробью; при этом х называется числителем, а у — знаменателем дроби.
в) В дальнейшем, при общих рассуждениях, относящихся
к ассоциативным законам композиции, мы чаще всего будем поль-заваться мультипликативным обозначением (но если закон, кроме того, коммутативен, то иногда и аддитивным).
Упражнения. 1) Пусть T — всюду определенный закон композиции на мпожестве Е. Обозначая через F «сумму» (Теор. мн., Рез., § 4, и0 5) E и множества \е}, состоящего из одного элемента, и отождествляя E и\е} с соответствующими подмножествами множества
F, показать, что на F можно, и притом единственным способом, определить закон композиции T , иидуцирующиіі на E закон T и имею щии е нейтральным элементом; если T ассоциативен, то и T ассоциативен. (Если в E пет нейтрального элемента относительно T , то говорят, что F получается из E «путем присоединения нейтрального элемента».)
2) Пусть T — всюду определенный закон на Е. Для его ассоциативности необходимо и достаточно, чтобы каждый левый перенос уд. был перестановочен с каждым правым переносом Ьу (относительно закона fog в множестве всех отображений E в Е).
3) Для того чтобы в мпожестве F всех отображений E в E отношение / О g = f о h влекло g —h, необходимо и достаточно, чтобы / было взаимно однозначным отображением E в Е; для того чтобы отношение g о /= h о / влекло g= h, необходимо и достаточно, чтобы / было отображением E па Е; для того чтобы / было регулярным (относительно^ закона °), необходимо и достаточно, чтобы / было взаимно однозначным отображением E на Е.
