Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бурбаки Н. -> "Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра " -> 22

Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.

Бурбаки Н. Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра — М.: Физ-мат литературы, 1962. — 515 c.
Скачать (прямая ссылка): algebraicheskiestrukturi1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 201 >> Следующая


Как и в случае внутренних законов, допуская вольность, говорят, что внешний закон задан (или определен) на Е. Наиболее
56

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ

ГЛ. I, § 3

важны законы всюду определенные, т. е. определенные на A = QXE; они и будут чаще всего рассматриваться в дальнейшем.

Из наиболее распространенных обозначений для композиции ап х приведем мультипликативное слева а-х (где точка может при желании опускаться), мультипликативное справа х-а и экспоненциальное Xfx', при рассмотрениях §§ 3—5 мы для обозначения произвольных внешних законов будем обычно пользоваться знаком X.

Примеры. 1) Если на множестве E задан мультипликативно обозначаемый ассоциативный внутренний закон, то (я, х) -> хп есть всюду определенный внешний закон композиции элементов из N* и Е; для а (j Z (а, х)->-ха есть закон композиции элементов из Z и Е, всюду определенный лишь когда все элемепты из E обратимы. Сказанное относится также к законам (и, х) —у пх и (а, х)—уах для аддитивно обозначаемого внутреннего закона на E *).

2) При заданных множествах EmF отображение (X, Y)—у Xe Y есть (всюду определенный) закон композиции множеств X с FXF и YdEXF, где первые служат операторами; отображение (Z, У)—у —yY°Z есть закон композиции множеств Z CL FXF (операторов) и множеств Y a FXE.

3) При заданном внутреннем законе композиции T на E через

х T А, где х CZ Л, А (Г Е, обозначают множество всех х T у, где у

пробегает А (т. е. множество {х}Т А); этим определяется закон композиция элементов из E (операторов) и подмножеств множества^.

Если J. — внешний закон композиции операторов a g Q и элементов х?Е, определенный на множестве AczQ X Е, то через З і.X для каждого 5 Cl Й и каждого XdE обозначают множество всех а±х, где а6 3, х? X и (а, х) 6 А; если S сводится к одному элементу а, вместо {а}_1_Х пишут aJ,X.

Отображение (Н, X) —у Bi. X есть всюду определенный закон композиции подмножеств множеств Q и Е.

*) Может случиться, что наряду с этим внутренним законом на E задан мультипликативно обозначаемый внешний закон, область операторов которого содержит множество N натуральных чисел (или его часть). В этом случае во избежание путаницы следует пользоваться для суммы последовательности п. членов, равных х, каким-нибудь обозначением, отличным от п-х (если только эта сумма не равна всегда композиции ли относительно заданного впешнего закона).
2

ВНЕШНИЕ ЗАКОНЫ КОМПОЗИЦИИ

57

Если аLх — внешний закон композиции операторов и

элементов х Є Е, то х—> fa(x)=a ±х есть отображение в ? некоторого его подмножества, а именно множества тех х, для которых a_L х определено. Это отображение называется умножением па. оператора.

Обратно, пусть (/а)а?Я — семейство отображений подмножеств множества E в E1 имеющее Q своим множеством индексов; тогда отображение (а, х) —» /а (х) есть закон композиции элементов из ?> и Е. Таким образом, совершенно безразлично, задаться ли таким семейством (/а) или же задаться законом композиции элементов из Q и Е. Если 1 — внешний закон композиции элементов из Q и Е, то элемент х? E называется инвариантным относительно оператора ag Q, когда а 1 х определено и равно х; элемент eg Q называется нейтральным оператором, если все элементы множества E инвариантны относительно в.

2. Раздвоение внутреннего закона

Множество Q операторов внешнего закона на множестве E может совпадать с самим Е; если Q = E, то налицо отображение в E некоторого AdExE, и это отображение можно с равным правом считать определяющим внутренний закон композиции элементов из Е. Более точно: отображение (х, у)—>f(x, у) множества AdExE в E можно рассматривать как определяющее следующие законы, которые важно ясно различать:

1° внутренний закон Т, при котором композицией х и у служит XTy = f(x, у); _

2° внутренний закон т, противоположный предыдущему (§ 1, Il0 1), при котором композицией X И у служит X T у = yT X = / (у, х)\ 3° внешний закон ± композиции операторов х g E и элементов у ? Е, при котором композицией г и у является xLy = / (х, у); он называется левым внешним законом, порожденным законом T: 4° внешний закон 1 композиции операторов х ?Е и элементов У?Е, при котором композицией х и у является XLy = /(у, х); он называется правым внешним законом, порожденным законом T і и является также левым внешним законом, порожденным законом T •

Если можно не опасаться путаницы, для обозначения внешпих законов, порожденных внутренним законом T, пользуются тем же
58

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ

ГЛ. I, §

символом T, записывая композицию х жу при левом внешнем законе в виде іТі/и при правом внешнем законе — в виде у T х.

Если T — всюду определенный закон на E, то порожденный им левый внешний закон есть закон, соответствующий (описанным выше образом) семейству всех левых переносов (Yr)3CtE, а правый внешний закон — семейству всех правых переносов дх. Сказать, что е? E есть нейтральный элемент относительно закона T , все равно, что сказать, что е есть нейтральный оператор для левого и правого внешних законов, порожденных законом T-
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 201 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed