Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
*14) Для ассоциативного закона на конечном множестве E существуют минимальные множества вида аЕ (т. е. минимальные элементы множества всех подмножеств множества Е, имеющих такой вид, упорядоченного по включению)-
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
ГЛ. I, § 2
а) Если Al =аЕ минимально, то хА1 = хЕ = А1 для каждого ж € Al; наделенное индуцированным законом, Al является полугруппой с левым сокращением (упражнение 11), в которой каждый левый перенос есть взаимно однозначное отображение Al на себя. [Cm. упражнение 13.]
б) Если Al =аЕ и Al' = а’Е минимальны и различны, то Al Г) Al' = -0‘. для каждого Ъ ? Al отображение х' Ъх' множества Al' в M
сеть взаимно однозначное отображение Al' на Al. Вывести отсюда, что существуют идемпотент и' 6 Al’, для которого Ъи' = Ь, и идемпотент и ? At, для которого ии —¦ и. [Взять за и идемпотент, для которого bu=b.\ Показать, что и'и = и' [рассмотреть ии'и| и что каждое у'?М’, для которого у'и — у’, принадлежит А1'и’.
в) Показать, что отображение х -* их' множества Al’и в Al <?сть изоморфизм Al’и' на Alu; вывести отсюда, что Al и M' — изоморфные полугруппы с левым сокращением.
г) Пусть Ali (1 г <>) — попарно различные минимальные мно-
жества вида аЕ; вывести из б), что идемпотенты каждой полугруппы с левым сокращением Ali можно расположить в последовательность (iiij) (I s) так, чтобы UjjUfrj= UiJ для любых г, /, к. Показать,
что EuiJ CZ К, где К — объединение полугрупп Ali. [Заметить, что xuijE для каждого х g E есть минимальное множество вида аЕ.] Вывести отсюда, что Euij есть объединение множеств itfrjEufrj (1 <;/?<;/•) [показать, что (Eui,-J1rIAljl = ujljEujij] и что EuiiE = K. Наконец, доказать, что каждое минимальное множество вида Eb совпадает с одним из s множеств Euij. [Заметить, что на основании a) Ebu^jb = ЕЪ, и вывести отсюда, что Ebc К.]
15) Пусть (»і)кі<п — конечная последовательность элементов,
для которых левые переносы Y-C. являются взаимно однозначными
і
отображениями E в Е.
а) Показать, что соотношение X1X2...хп=е влечет все соотношения хі+і ... XnXiX2 ... Xi= е (1 <; г и), получающиеся из него «круговой перестановкой».
б) Вывести отсюда, что если композиция последовательности (Xi) обратима, то каждое Xi обратимо.
16) Если ж и у обратимы, то элемент y~lx~hyx называется коммутатором х Vl у ж обозначается х?у. Показать, что для того, чтобы х и у (предполагаемые обратимыми) были перестановочны, необходимо її достаточно, чтобы х°у = е. Доказать тождества
у°х = (хоу)~1, х°(уz) = (х°у) (:о(хоу)) (aroz),
(Xe у) (zc(xzy)) (ю x)~l (yoz) (xo(yoz)) (хоу)~і (гож) (i/o(zox)) (yoz)~l=e.
!Третье получается из второго круговой перестановкой ж, у, z и по членным перемножением полученных тождеств.]
17) Распространить доказательство теоремы симметризации (теорема 1) на тот случай, когда T — ассоциативный закон и каждый регулярный относительно него элемент —• центральный.
I
ВНЕШНИЕ ЗАКОНЫ композиции
*18) Пусть T — ассоциативный закон на множестве E и Е* — множество всех регулярных относительно него элементов; предположим, что Е* не пусто и что каждый регулярный элемент — центральный. Обозначим через $ множество всех X Cl Е, обладающих следующим свойством: существует у ?Е*, для которого t>v(E)ci X.
а) Показать, что пересечение двух множеств из % принадлежит %.
б) Пусть ф — множество всех функций, определенных па множествах из 5', принимающих значения в ? и таких, что, каковы бы
-і
ни были f ?Ф и X / (X) принадлежит g. Обозначим через R следующее отношение между элементами / и g множества Ф: «существует множество X ? 5 такое, что сужения / и g на X совпадают». Показать, что R — отношение эквивалентности; пусть 1F= Ф/R — фактормножество множества Ф по этому отношению.
в) Пусть / и g — элементы из Ф, Л ? 5 и В ?5 — множества, на которых fug соответственно определены, и пусть существует X С. В, принадлежащее %, для которого g (X) С А; обозначая через gx сужение g на X, показать, что отображение j°gx принадлежит Ф и что его класс (mod R) зависит только от классов функций / и g (но не от X); этот класс называется композицией класса функции / и класса функции g\ показать, что так определенный закон композиции в 1F ассоциативен и обладает нейтральным элементом.
г) Показать, что левый перенос уа для каждого а ?Е принадлежит Ф; пусть фа — его класс (mod R). Показать, что отображение х -> ер* есть изоморфизм ?в?и что если х Є Esc, то фж обратимо в 1F. [Рассмотреть отображение, обратное к ух, и показать, что оно принадлежит ф, а его класс (mod R) симметричен фх.] Получить отсюда повое доказательство теоремы 1 и ее обобщения, сформулированного в упражнении 17.
§ 3. Внешние законы композиции
I. Бнегиние законы композиции
Определение 1. Внешним законом композиции элементов множества Q, называемого множеством операторов (или областью операторов) закона, и элементов множества E называется отображение f некоторого множества AczQxE в Е. Значение /(а, х), принимаемое / в (а, х) ? А, называется композицией а, их относительно этого закона. Элементы из Q называются операторами закона.
