Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
«$! е T1 и S2 G T2 И ... и Sp G Тр»,
где каждое Tj получается путем замены в терме $ ((и xv) Xv) буквы
V одной из букв Xi, буквы и—одним из термов Xi или Ah. При этом. аксиома рода 2 записывается в виде «P и Q», где P есть отношение «Sj есть функциональный график и ...
... и Sp есть функциональный график»
I
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
61
(выражающее таким образом, что Si являются графиками законов композиции); отношение Q (выражающее дополнительные условия, наложенные на законы композиции рода структуры 2) называют вообще (допуская вольность речи) аксиомой рода 2 (и, разумеется, чаще всего оно представляется в виде конъюнкции нескольких отношений, называемых аксиомами рода 2).
G таким родом структуры 2 можно ассоциировать род алгебраической структуры 20, имеющий те же множества базы и ту же типовую характеристику, но аксиома которого сводится к P;
S0 называется обедненным родом структуры, соответствующим 2. Два рода алгебраической структуры, имеющие один и тот же обедненный род структуры, называются гомологичными, и две структуры гомологичных родов называются гомологичными.
Определение алгебраической структуры естественно порождает понятие изоморфизма (Теор. мн., Рез., § 8, п° 5): если на E и E' заданы алгебраические структуры одинакового рода, то изоморфизм E на E1 есть биекция*)/: Е—>Е’ такая, что внутренние и внешние законы на E' получаются из соответствующих законов на E переносом структуры посредством / и тождественным отображением каждой из областей операторов* внешних законов (являющейся вспомогательным множеством для обеих структур).
Если речь идет о роде алгебраической структуры 2, определенном на нескольких основных множествах базы X1, ..., хп, то об изоморфизме E1, ..., En на Е\, ..., Efn еще говорят, когда ни одно Xi не является областью операторов внешнего закона. В противном случае систему (J1, ..., fn), где Д — биекция Ei на Е\ и законы композиции структуры, рассматриваемой в Е\, ..., Е'п, получаются из законов композиции структуры, заданной в E1, ... ..., En, переносом структуры посредством отображений Д и тождественного отображения каждого из вспомогательных множеств рода 2, —предпочитают называть полиизоморфизмом (биизоморфизмом при п=2); если же рассматриваемые структуры совпадают, то говорят о полиавтоморфизме (биавтоморфизме при п=2).
Это различение между полиизоморфизмом и изоморфизмом введено главным образом из-за того, что обычно, допуская вольность, отождествляют два рода алгебраических структур, отличающиеся
*) То есть взаимно однозначное отображение на.— Перев.
62
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
ГЛ. I. § 4
лишь тем, что некоторые основные множества базы одного рассматриваются как вспомогательные множества базы другого “(например, в модуле над кольцом последнее рассматривают то как всцомогатель-ное множество, то как основное)^
2. Устойчивые множества. Индуцированная алгебраическая структура
Определение 2. Пусть E—множество, наделенное алгебраической структурой. Множество AdE называется устойчивым (относительно структуры, заданной в Е), если оно устойчиво относительно каждого из внутренних и внешних законов, определяющих эту структуру.
Пересечение произвольного семейства устойчивых множеств есть снова устойчивое множество; в частности, существует наименьшее устойчивое множество, содержащее заданное множество XdE', оно называется устойчивым множеством, порожденным множеством X.
Определение 3. Пусть Е—множество, наделенное алгебраической структурой. Индуцированной ею структурой в множестве FdE называется структура, определяемая в F внутренними и внешними законами, индуцированными на F законами, определяющими структуру в Е.
Часто говорят, что структура, заданная в Е, является продолжением структуры, индуцированной ею в множестве FdE.
Если структура, рассматриваемая в Е, есть структура рода 2 и 20 — соответствующий обедненный род структуры (п°1), то индуцированная структура в F есть структура рода 20, но не обязательно рода 2, даже когда F—устойчивое множество.
В § 6 будет показано на примере, что структура, индуцированная в устойчивом подмножестве F группы E заданной в E групповой структурой, вообще говоря, не является уже групповой структурой.
3. Факторструктуры
В дальнейшем будут рассматриваться отношения эквивалентности R, S,... между элементами множеств, наделенных алгебраическими структурами. Напомним (Теор. мн., Рез., § 5, п° 2), что отношение R между элементами х, у часто записывается в ви
з
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
63
де X = !/(mod/?) или просто х = у, если нет опасности смешения с другим отношением.
Определение 4. Пусть T — внутренний закон композиции элементов множества E. Говорят, что отношение эквивалентности R согласуется с законом Т> если хT у = х Ty' (mod К) всякий раз, когда х s= х (mod R), у = y' (mod R) и композиции хT у и х' T у' определены. Закон, относящий классам эквивалентности элементов х и у класс эквивалентности элемента хТУ, есть внутренний закон композиции элементов фактормножества ElR, называемый факторзаконом закона T по R.
