Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
§ 5. Отношения между законами композиции
В определении большинства алгебраических структур фигурируют несколько законов композиции, находящихся в определенных взаимных отношениях; типы этих отношений довольно разнообразны; мы рассмотрим здесь главнейшие из них и укажем, как принято отражать их в обозначениях.
I. Дистрибутивность
Определение 1. Всюду определенный внешний закон композиции J. операторов а, ? Q и элементов множества E называют дистрибутивным относительно внутреннего закона композиции T элементов из Е, если всякий раз, когда композиция хТ у определена, композиция (а_1_х)Т (aXy) определена для всех a? Q и имеет место равенство
аХ(хТг/) = (а±ж)Т(а±2/). (1)
Это определение равносильно требованию, чтобы отображение х—>а_1_х было для каждого Q представлением Eu E относительно
структуры, определяемой Bi? одним только внутренним законом T-
Ограничимся в дальнейшем рассмотрением того случая, когда закон T всюду определен. Сделанное только что замечание и тождество (1) § 4 показывают тогда, что, какова бы ни была серия
76
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
ГЛ. I, S 5
элементов из Е,
а
(2)
Если рассматриваемый внутренний закон записывается мультипликативно, то для внешнего закона, дистрибутивного относительно этого умножения, часто пользуются экспоненциальны»? обозначением ха, так что дистрибутивность выражается тождеством (ху)а=хауа. Если внутренний закон записывается аддитивно, то внешний закон, дистрибутивный относительно этого сложения, часто обозначают в виде умножения слева а-х или умножения справа х-а, в соответствии с чем дистрибутивность выражается соответственно тождеством а (х-\-у)=ах-\-ау или (х-\-у)а=ха-\-уа.
Определение 2. Пусть X — всюду определенный закон композиции операторов и элементов изЕ, T —внутренний закон
композиции элементов из E и T — внутренний закон композиции элементов из Q. Говорят, что закон X дистрибутивен относительно совокупности законов T , T , если всякий раз, когда композиция аТР определена, композиция (аXх)T(РX#) определена для всех х?Е и имеет место равенство
He следует смешивать эту дистрибутивность с определенной выше: дистрибутивность X относительно совокупности законов T, T никоим образом не влечет дистрибутивности X относительно закона T (см. примеры ниже).
Определение 2 равносильно требованию, чтобы отображение а—S- аX х было для каждого х? E представлением Q в E (для структур, определяемых соответственно законами T и у).
Ограничимся снова рассмотрением лишь того случая, когда законы T и T всюду определены. Внутренние законы, действующие в Q и Е, чаще всего обозначаются аддитивно (и значит (§ 2, п° 9), считаются ассоциативными и коммутативными); тогда внешний закон, дистрибутивный относительно совокупности этих внутренних законов, записывают в виде умножения слева или справа, так что дистрибутивность выражается соответственно тождеством (а+Р) х=ах-\-$х или х (а.-\-ф)=ха.-\-х§.
(CiTp)Xz = (CtXz)iT(PXar).
(ЗУ
1 отношения Между законами композиции 77
При обозначении внешнего закона умножением слева а-х обычно говорят, что он дистрибутивен слева, если имеет место тождество (а+Р) х=ах+$х; тождество же а (х-{-у)=ах-{-ау выражает так называемую дистрибутивность справа (т. е. дистрибутивность внешнего закона относительно заданного на E сложения); для закона, обозначаемого х-а, эти наименования меняются ролями. При тех же обозначениях, внешний закон называется двояко дистрибутивным (относительно двух внутренних законов), если он дистрибутивен и слева и справа. Тогда для любого конечного семейства (^я)^ь элементов из E и любого конечного семейства (at)t?/ элементов из Q имеем
(J <*i) -(2*0= S К-а-л) (4)
I ?/ KL (I ,l)?IXL
(и аналогичную формулу при записи умножением справа), в чем можно убедиться индукцией по числу элементов множеств I и L.
Определение 3. Пусть Tui — два внутренних закона, заданных на множестве Е. Говорят, что закон J. двояко дистрибутивен относительно закона T, если он всюду определен и каждый из внешних законов, получающихся из путем раздвоения, дистрибутивен относительно T •
Чаще всего один из этих внутренних законов записывается аддитивно (и значит, ассоциативен и коммутативен), а другой ^мультипликативно (и значит, ассоциативен); в этих обозначениях двоякая дистрибутивность умножения относительно сложения выражается тождествами х (у + z) = ху + xz и (у -|- z) х = ух + zx.
В случае, когда умножение коммутативно, эти два тождества равносильны, и при их выполнении говорят просто (допуская вольность речи), что умножение дистрибутивно относительно сложения. В прежнем предположении ассоциативности (но не обязательно коммутативности) умножения, пусть А— вполне упорядоченное конечное множество, (Sa)a?A — серия, элементами которой являются конечные семейства Sa = (а^Ош элементов из Е, и
L = J]La;, индукцией по числу элементов множества А получаем
а ІА
«общую формулу дистрибутивности»
ГК 2 SctO=J (Fba1 1(a)). (5)
aiA KLa 1?Ъ а?А
78
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
ГЛ. I, §5
