Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Если T всюду определен, то всюду определен и его факторзакон по R; если T ассоциативен, то и факторзакон ассоциативен; если T коммутативен, то и факторзакон коммутативен (кратко говорят, что ассоциативность и коммутативность сохраняются при факторизации). Если T обладает нейтральным элементом е, то и факторзакон обладает нейтральным элементом (а именно классом эквивалентности, которому принадлежит е); элементам из Е, симметричным относительно T , соответствуют в EIR элементы, симметричные относительно факторзакона, и значит, симметризуемому элементу из E отвечает симметризуемый элемент из EIR. С другой стороны, регулярному элементу из E не обязательно соответствует регулярный элемент в EIR (см. пример ниже).
Определение 5. Пусть _L — внешний закон композиции операторов a g Q и элементов множества Е. Говорят, что отношение эквивалентности R между элементами из E согласуется с законом X, если а\.х=а.\.х' (mod R) всякий раз, когда х=х' (modi?) и композиции а±х и а ±х' определены. Закон, относящий оператору а и классу эквивалентности элемента х класс эквивалентности элемента а±х, есть внешний закон композиции операторов а 6 Q и элементов из ElR, называемый факторзаконом, закона X по R.
Если отношение R согласуется с внутренним законом T > то оно согласуется также, с одной стороны, с противоположным законом, а с другой—с двумя внешними законами, получающимися из T путем раздвоения. Факторизация по этим четырем законам дает
64
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
ГЛ. I, § 4
два противоположных внутренних закона композиции элементов из EIR и два внешних закона композиции элементов из Е, служащих операторами, и элементов из ElR.
Обратно, пусть T — всюду определенный внутренний закон Ti R — отношение эквивалентности, согласующееся с обоими порождаемыми T внешними законами. Тогда отношения х = х' (modi?), у = y' (mod/?) влекут, с одной стороны, х'TУ = %Т у (modi?), а с другой, х' Jy = х' Ту' (modi?), и значит, хТ У = х' Ту' (modi?); тем самым І? согласуется с T-
Если отношение І? согласуется с левым (соответственно правым) внешним законом, порожденным внутренним законом T, то мы кратко говорим, что І? согласуется слева (соответственно справа) с T- Таким образом, имеем:
Предложение 1. Для того чтобы отношение эквивалентности согласовалось со всюду определенным внутренним законом, необходимо и достаточно, чтобы оно согласовалось слева и справа с этим законом.
Определение 6. Пусть E — множество, наделенное алгебраической структурой, определяемой внутренними или внешними законами композиции. Говорят, что отношение эквивалентности R между элементами множества E согласуется со структурой, заданной в Е, если оно согласуется со всеми этими законами', структура, определяемая в фактормножестве ElR их факторзаконами noR, будет называться факторструктурой структуры, заданной в Е, по R, a EIR, наделенное этой факторструктурой, — результатом факторизации множества Е, наделенного заданной структурой, по R.
Если структура, рассматриваемая в Е, —рода S и S0-соответствующий обедненный род структуры (п° 1), то фактор-структура в ElR будет рода 20; но нужно в каждом случае исследовать, будет ли она также рода 2 (так, во всяком случае, будет, в частности, когда.S есть род групповых структур (§ 6) или род кольцевых структур (§ 8)).
Пример: Сравнения в Z.
Пусть а ? Z; отношение между элементами х и у из Z «существует z ? Z такое, что а: — y = az» есть отношение эквивалентности;
S
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
65
ого раз навеегда условились записывать х = у (mod а) или, короче, х гн у (а) и называть сравнением по модулю а. Заменив а на —а, получим эквивалентное отношение, так что можно считать а> 0; если а = 0, то х Hs у (0) означает, что х = у; таким образом, отношение, отличное от равенства, получается лишь при а Ф 0; поэтому в дальнейшем, если только явно не указано противное, будет предполагаться, что а > 0.
Фактормножество множества Z по сравнению х=у (а), где а > 0, есть конечное множество из а элементов, называемое множеством рациональных целых по модулю а; этот факт вытекает из следующего свойства, обобщающего на рациональные целые евклидово деление натуральных чисел (Теор. мн., гл. III):
Если a GN* и x?Z, то существуют однозначно определенные' рациональные целые q и т такие, что х= qa-±r и а— 1.
Действительно, если X= qa-\-г и 0< г< а—1, то да< z<(<7+1) а, откуда та < х при т< ди та > х при т>д; следовательно, q (если оно существует) однозначно определено как наибольший элемент множества тех т G Z, для которых та^х. Ho существование q в случае z>0 было доказано (Теор. мн., гл. III); если же х < 0, то существует G Z такое, что g'a< — х < (g' 4-1) а\ а отсюда да< х < (g + 1) а, где q=¦= — q , если —x^q’a, и q= —(<?' + I), если q а < — х.
Определенное так число г называется вычетом х по модулю а; для того чтобы ISj (а), необходимо и достаточно, чтобы х и у обладали одинаковым вычетом по модулю а, ибо два натуральных числа, принадлежащих интервалу [0, а — 1], могут быть сравнимыми по модулю а только если они равны. Отсюда следует, что фактормножество множества Z по отношению х = у (а) находится во взаимно однозначном соответствии с интервалом [0, а— 1] и тем самым есть множество, состоящее из а элементов; его часто отождествляют с этим интервалом.
