Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть А и В — два множества и / — отображение А в В. Согласно предыдущему, существует, и притом только одно, представление /' моноида L(A) в L(B), переводящее 0 в 0 и служащее продолжением /. Пусть С — третье множество, Z1 — отображение В в Си/' — порождаемое им представление L(B) в L(C)', тогда />/' есть представление L (А) в L(C), порождаемое отображением Z1 о/ множества А в С.
*) Это каноническое отображение (композиция канонического отображения AIRa па / (А) и канонического отображения множества / (B)=j (А) на В/Rb) относит каждому классу (mod Ra) в А содержащий его класс (modi?) в Е.
S
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
71
б. Произведения алгебраических структур
Определение 8. Пусть (E1)ieI — семейство множеств, наделенных гомологичными алгебраическими структурами, и E = J‘ E1-
41
его произведение. Будем предполагать, что каждый из (внутренних я внешних) законов обедненного рода структуры 20, соответствующего родам структур, заданных в множествах E1, обозначается одним знаком для всех E1.
1° Для внутреннего закона T на множествах E1, X=(X1)U у = (j/t) положим х T у = (яаТ Vi) всякий раз, когда X1T у і определены для всех і G I; определенный так внутренний закон композиции на E будем называть произведением законов T, заданных на множествах E1.
2° Для внешнего закона _L на множествах E1, оператора с. относительно этих законов и X= (х^) положим a,Lx= (aLx^) всякий раз, когда a L%i определены для всех i? /; определенный так внешний закон композиции на E будем называть произведением законов X , заданных на множествах Е.
3° Если для каждого из характеристических законов рода структуры 20 будет образовано на E произведение соответствующих законов на множествах Et, то структура, определяемая в E всеми этими произведениями законов, будет называться произведением структур, заданных в множествах E1, а Е, наделенное этой структурой, — произведением множеств E1, наделенных заданными структурами.
Произведение структур, очевидно, гомологично структурам, заданным в множествах E1; но если последние структуры принадлежат все одному роду, нужно в каждом случае еще исследовать, принадлежит ли и их произведение этому роду.
В дальнейшем мы встретимся как с примерами, где это всегда так (структуры группы, кольца и т. д), так и с примерами, [где это не так (структура тела).
В обозначениях определения 8, если A1 — устойчивое подмножество множества E1, то A= Jj A1 есть устойчивое подмножество
і E I
произведения Е, а структура, индуцированная в А из Е, есть произведение структур, индуцированных в множествах A1 из Ex.
72
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
ГЛ. I, § 4
Отображение prt произведения E на E1 есть представление E на E1', аналогично для проекции на любое частичное произведение W E),. Если (Ik)k^k- разбиение множества I и Fk= J] E1.
то каноническое отображение (Теор. мн., Рез., § 4, п°11) E
на [] Fk есть изоморфизм.
у. і к
Если Д — представление множества F (наделенного структурой, гомологичной структурам, заданным-в множествах E1) в E1, т0 /=(A) есть представление FbE.
Пусть (Fl)iej-BTopoe семейство множеств, наделенных алгебраическими структурами, гомологичными заданным в множествах^, обладающее тем же множеством индексов; еслиД для каждого і есть представление E1 в F1, то отображение (xt) —^ (Д (xt)) есть представление П E1 в Г] F1.
I?/ i?J
В частности, когда I — множество, состоящее из двух элементов, а Д — канонические представления на фактормножества, получаем следующее предложение:
Предложение 4. Пусть EuF — множества, наделенные гомологичными алгебраическими структурами, R — отношение эквивалентности, согласующееся со структурой, заданной в Е, и S — отношение эквивалентности, согласующееся со структурой, заданной в F. Каноническое отображение (EIR)X(FIS) на (ExF)l(RxS} (Теор. мн., Рез., § 5, п°10) есть изоморфизм.
Если рассматриваемые структуры определяются в каждом E1 единственным внутренним законом (обозначаемым T для всех E1) и если все эти законы T ассоциативны, их произведение тоже ассоциативно; для того чтобы элементы (хь), (гд) были перестановочными относительно произведения законов т , необходимо и достаточно, чтобы Z1 и JZ1 были перестановочны при каждом і; в частности, если все законы T коммутативны, то и их произведение коммутативно; для краткости говорят также, что ассоциативность-и коммутативность сохраняются при переходе к произведениям. Для того чтобы произведение законов T обладало нейтральным элементом e=(eL), необходимо и достаточно, чтобы каждое е, было нейтральным элементом в E1; для того чтобы X=(X1) былорегулярным относительно произведения законов T , необходимо»
о АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ 73-
и достаточно, чтобы каждое X1 было регулярно в E1; для того чтобы X=(Xi) и У = (1Jl) были симметричны, необходимо и достаточно, чтобы X1 и Ijl были симметричны при каждом I.
Наконец, рассмотрим тот случай, когда все E1 совпадают с одним и тем же множеством F, наделенным произвольной алгебраической структурой; E есть тогда множество F1 всех отображений і—>/(<¦) множества индексов IbF; композиция /Тg Двух таких отображений относительно каждого внутреннего закона T на F есть отображение і—>/(i)T g(i); а для каждого внешнего закона X на F композиция a J./ оператора а и отображения / есть отображение
