Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Рассматривая в дальнейшем Z как упорядоченное множество, мы всюду, где не оговорено противное, будем считать, что порядок определен в нем описанным образом. Натуральные числа совпадают с целыми >0; они называются также положительными целы-
7 НЕЙТРАЛЬНЫЙ, РЕГУЛЯРНЫЕ, СИММЕТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 47
ми; целые <0 — числа, симметричные положительным целым, — называются отрицательными целыми; целые >0 (соответственен
<0) называются строго положительными *) (соответственно строго отрицательными)', множество всех целых >0 обозначается N*.
в. Применения: II. Положительные рациональные
числа
Примем за E .множество N натуральных чисел, а за закон ком позиции на этот раз умножение; множеством всех регулярных (ле.ментов из N относительно этого закона служит N*. Результат .¦имметрпзации множества N относительно умножения будет обозначаться Q4., а его элементы называться положительными рациональными числами', закон, полученный путем симметризации умно- ~ жения, будет называться умножением положительных рациональных чисел и обозначаться мультипликативно. Элементами Q. являются классы эквивалентности, определяемые в NxN* отношением между (/^1, (Jr1) и (р2, д2), записываемым plqi^piql', элемент из Q4., содержащий (р, ?)6 NxN*, условились обозначать или
p/q; таким образом, произведением P1Iql и P2Iq2 является (PiPi)KQiQi)' натуральное число т отождествляется с рациональными числами ™ (/Z^N*). Мы не будем продолжать здесь далее изучение множества Q4, поскольку ниже (§ 9, п° 5) снова встретимся с ним как с частью множества Q всех рациональных чисел (гд<“ будет введено не только умножение, индуцирующее на Q4 умножение, определенное выше, но также сложение).
7. Продолжение представления по симметрии
Пусть E — множество, наделенное коммутативным ассоциативным законом. Нижеследующая теорема позволяет продолжать на симметризованное множество E (п° 4) некоторые представления E в множество F, наделенное ассоциативным законом:
*) Заметим, что, сообразуясь с общей терминологией, принятой для упорядоченных множеств (Теор. мн., Рез., § 6) и упорядоченных групп (CM. гл. VI), мы отклонились от обычного словоупотребления (где положительное означает > 0); при нашей терминологии 0 одновременно положителен и отрицателен (причем это единственное рлциональное целое, обладающее таким свойством).
48
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
ГЛ. I, § 2
Теорема 2. Пусть E — множество, наделенное коммутативным ассоциативным законом, и E — его устойчивое подмножество такое, что: I0 каждый регулярный элемент из E симметриэуем в Е: 2° E порождается объединением E и множества элементов, симметричных всевозможным регулярным элементам из Е. Пусть / — представление E в множество F, наделенное ассоциативным законом, относящее каждому регулярному элементу из E симметри-зуемый элемент в F; тогда { может быть, и притом единственным ¦способом, продолжено до представления EeF.
Будем законы, заданные в E и F, обозначать T, а элемент, симметричный элементу х?Е (соответственно y?F), обозначать х (соответственно у'). Очевидно, закон, индуцированный на f (E) законом T! заданным на F, коммутативен. G другой стороны, из доказательства теоремы 1 следует, что каждый элемент zv?E имеет вид х T У’ і rAe а у— регулярный элемент из Е\ если х T у' =
= X1 T у\, то х~\ у1 = х1Т У, к поэтому f(x)Tf (уу) = / (.T1) T / {у)\ так как f(y) и / (г/J по предположению симметризуемы и, кроме того, перестановочны друг с другом, а также с f (х) и /(^1), то f(x) T {f{y)Y =/Ю T {1(Уі)У, так что f(x)T(f(y))’ зависит только от элемента w, но не от выбора его представления в виде х T у'; если при этом w?E, тож = ш T У; значит, /(х) = /(w)T/(у) и f(w) = f(x) T (f(y))'. Таким образом, положив f(xjy') = = / (х) T (/ {у)У у мы продолжим отображение / множества E в F на Е, и выкладки, аналогичные проведенным выше, показывают, что это продолжение является представлением EbF. Единственность вытекает из того, что каждое представление g E в F удовлетворяет условию g(x T y') — g(x) T (ё(у)У для всякого симме-тризуемого у из Е.
8. Применение: умножение рациональных целых
чисел
Рассмотрим множество рациональных целых чисел Z (п° 5) и множество натуральных чисел NdZ со структурами, определяемыми в них одним сложением. Если m? N, то (Теор. мн., гл. III) для х ? N, у ? N имеет место тождество т (х -j- у)—тх-{-ту, ^означающее, что отображение х—>тх N в себя есть представление.
<) НЕЙТРАЛЬНЫЙ, РЕГУЛЯРНЫЕ, СИММЕТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 49
Его можно также рассматривать как представление N в Z и на .(том основании применить к нему теорему 2; поэтому оно может быть продолжено до представления ZbZ, которое по-прежнему будет обозначаться х-*тх\ согласно доказательству теоремы 2, для X= —п, где /г? N*, тх равно — (тп).
Определим теперь все представления / ZbZ. Пусть f(l)=a. Предположим сначала, что а>0. Имеем / (х+1)=/(х)+а, откуда и о индукции следует, что / (х) = ах для всех xgN; применяя теорему 2 к Z и N, имеем поэтому / (х) = ах, каково бы ни было xgZ. Пусть теперь а=—п, где п g N*; отображение х-ч» —/(х) есть композиция / и отображения X-^--X (являющегося, в силу коммутативности сложения, представлением) и, значит, представление, отображающее 1 в п > 0, откуда —/(х) = гех и f(x)=—(nx), -каково бы ни было xgZ; здесь снова по определению полагают /(х) = ах, полагая тем самым (—/г) х = — (/гх) для всех /I = N*, x?Z.
