Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Мы будем говорить, что два внешних закона, порожденных заданным внутренним, получаются путем раздвоения последнего. Всякий раз, когда область операторов внешнего закона на E совпадает, с E и есть опасность путаницы, эта область будет заменяться некоторым множеством E', поставленным во взаимно однозначное соответствие с Е, а композиция х' ? E' и у ?Е считаться, по определению, равной композиции оператора х?Е и элемента у?Е при заданном законе, где а: —элемент из Е, соответствующий элементу х б E'. Разумеется, одновременно с этим в E' будут при необходимости переноситься и все структуры, заданные в E (Теор. мн., Рез., § 8, п° 5).
3. Устойчивые множества. Индуцированные законы
Определение 2. Подмножество А множества E называется устойчивым относительно внешнего закона композиции а±х операторов a?Q и элементов х?Е, если композиция а ±х принадлежит А всякий раз, когда х? А и а±х определено.
Иными словами, А устойчиво, если Q±AdA.
Пересечение семейства устойчивых подмножеств множества Е, очевидно, устойчиво, так что существует наименьшее устойчивое множество, содержащее заданное XczE', оно называется устойчивым множеством, порожденным X.
Пример. Для внешнего закона, полученпого путем раздвоения умножения натуральных чисел, устойчивое множество, порожденное мпожеством {1}, содержит п-1=п для каждого п ? N и тем самым совпадает с N. На этом примере видна необходимость тщательно отличать внутренний закон от внешних, получающихся путем его раз-
двоения, поскольку относительно умножения натуральных чисел
ВНЕШНИЕ ЗАКОНЫ КОМПОЗИЦИИ
множество {1} само устойчиво. Более общим образом, если множество A CT E устойчиво относительно левого (или правого) внешнего закона, порожденного внутренним законом T, то оно устойчиво и относительно T; но, как показывает предыдущий пример, обратное неверно.
Если X — всюду определенный внешний закон композиции операторов a^Qii элементов х?Е тл. А — подмножество множества Е, устойчивое относительно этого закона, то, каково бы ни было (I)CzQ, сужение функции а±х на Фх4 есть всюду определенный внешний закон композиции операторов а^Ф и элементов х?А\ он называется законом, индуцированным законом _L на множествах фи А. Более общим образом:
Определение 3. Пусть X — внешний закон композиции операторов ag Q и элементов х?Е, определенный на AdQX-E, и ФсФ, FCZE', законом композиции операторов а?Ф и элементов х? F, индуцированным законом X > называется закон, определенный на множестве тех (а, х) С Фх F, для которых (а, х) g А и a±x?F, и относящий каждой такой паре (а, х) композицию а±х.
Там, где нет опасности путаницы, закон, индуцированный законом X і мы будем (допуская вольность) обозначать снова X • Говоря (без дополнительных уточнений) о законе, индуцированном законом X на некотором множестве F (Z.E, мы будем всегда подразумевать, что Ф = ?2.
Напротив, рассматривая случай, когда F=E и ФсГЙ, мы будем по-прежнему говорить, что закон, индуцированный на Ф it Е, получен путем сужения области операторов заданного закона до множества Ф.
Упражнение. Пусть X — всюду определенный закон композиции операторов a ? Q и элементов х Є Е. Пусть, далее, F—множество всех отображений E в Е, G — его подмножество, образованное умножениями / па всевозможные операторы а закона j_, и H— устойчивое относительно закона fog подмножество множества F, порожденное множеством G и тождественным отображением E на себя.
а) Показать, что каждое подмножество множества Е, устойчивое относительно закона j_, устойчиво относительно закона (/, x)-+f (х) композиции операторов / ? Я и элементов х ? Е, и обратно.
б) Устойчивое относительно закона j_ множество, порожденное множеством XdE, совпадает с множеством всех f (х), где / пробегает Н, а х пробегает X.
HO
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
ГЛ. I, § 4
§ 4. Алгебраические структуры
I. Определение алгебраической структуры
Предметом алгебры является изучение структур, определяемых заданием одного или нескольких внутренних или внешних законов композиции элементов одного или нескольких множеств. Чаще всего все эти множества, кроме одного, рассматриваются как вспомогательные (Теор. мн., Рез., § 8, п° 2), что приводит к следующему определению.
Определение 1. Алгебраической структурой в множестве E называется всякая структура, определяемая в E одним или несколькими внутренними законами композиции элементов из E и одним или несколькими внешними законами композиции операторов из-областей операторов Q, 0,... и элементов из Е, причем эти законы могут быть подчинены некоторым условиям (например, ассоциативности, коммутативности и т. п.) или быть связаны друг с другом некоторыми отношениями (см. § 5).
Аналогично определяется алгебраическая структура на нескольких основных (и, возможно, нескольких вспомогательных) множествах путем задания внутренних или внешних законов композиции на некоторых основных множествах; часть основных множеств может служить областями операторов внешних законов структуры.
Таким образом, род алгебраической структуры S (Теор. мн., гл. IV, § 1), определенный на основных множествах базы X1, ... ..., хп и ее вспомогательных множествах A1, ..., АТ( в теории более сильной, чем теория -множеств), имеет общую структуру вида (S1, ..., sp) и типовую характеристику вида
