Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
4) В свободном моноиде (§ 1, п° 3) каждый элемент регулярен.
5) Определить на множестве Е, состоящем из п элементов, где
2 < п <15, все всюду определенные законы с нейтральным элементом, относительно которых каждый элемент из E регулярен; показать, что при я = 5 существуют также неассоциативные законы, удовлетворяющие этим условиям.
4*
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
гл. і, § 2
Упражнения с 6 по 16 включительно относятся к мультипликативно обозначаемым ассоциативным законам на множестве E; е означает нейтральный элемент, если таковой существует, уа и 60 _— левый и правый переносы, соответствующие элементу а ?Е; если XdE, то, по определению, Ya {X) = (-У) =Xa.
6) Для ассоциативного закона на конечном множестве каждый регулярный элемент обратим. [Использовать предложение 4.]
7) Пусть заданы ассоциативный закон на множестве E и элемент х б Е, и пусть А — множество всех хп, где п б N*; далее, если существует нейтральный элемент, пусть В — множество всех хп, где п ? N; если, кроме того, х обратимо, то пусть С — множество всех Xі, где а б Z. Показать, что если А (соответственно В, С) бесконечно, то (наделенное законом, индуцированным законом, заданным иа Е) оно изоморфно N* (соответственно N1 Z), наделенному сложением.
8) В обозначениях упражнения 7 предположим, что А конечно. Показать, что А содержит идемпотент h (§ 1, п° 4), и притом только один. [Если хр и X1 — идемпотенты, то xv = xv4, Xi = XVi, и значит, Xf=XrI.] Если А=»Р, то множество D всех Xn с п > р есть устойчивое подмножество множества E такое, что относительно закона, индуцированного на D, h является нейтральным элементом и все элементы из D обратимы.
*9) Пусть на множестве E задан мультипликативный закон и а — элемент из E такой, что левый перенос Yo есть взаимно однозначное отображение E в Е.
а) Показать, что если существует элемент и, для которого аи — а, то их = х для всякого х G Е; в частности, если хи = х дли каждого х ? Е, то и — нейтральный элемент.
б) Показать, что если существуют и?Е, для которого au = a, и Ь?Е, для которого ab= и, то Ьа = и. [Образовать aba.] В частности, если существуют нейтральный элемент е и элемент Ь, для которого аЬ=е, то Ъ — элемент, обратный а.
10) Показать, что если а и Ъ — такие элементы из Е, что Yba ~ взаимно однозначное отображение E в Е, то Yo — взаимно однозначное отображение E в Е. Вывести отсюда, что для коммутативного ассоциативного закона на E множество S всех нерегулярных элементов из E обладает свойством ES d S (и, в частности, устойчиво).
*11) E называют полугруппой с левым со Kpatif ением, если Yx есть взаимно однозначное отображение E в E для каждого х?Е.
а) Если и — идемпотент (§ 1, п° 4), то их= х для каждого х 6 Е. [Использовать упражнение 9а.] и — нейтральный элемент относительно закона, индуцированного на Eu.
б) Если и и и — два различных идемпотента из Е, то EurIEv= 0 [показать, что отношение xu=yv влечет хм= ж у] и множества Eu Ti Ev (наделенные законами, индуцированными законом, заданным на Е) изоморфны.
НЕЙТРАЛЬНЫЙ, РЕГУЛЯРНЫЕ, СИММЕТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 53
в) Пусть R — дополнение к объединению множеств Eu, где и пробегает множество всех идемпотентов из Е. Показать, что ER CZ R-!Доказать, что идемпотент и не может удовлетворять равенству ху— = хуи при X Є Е, у ? R.] Следовательно, R — устойчивое подмножество множества Е. Если R не пусто, то aR R для каждого а ? R. [Для доказательства того, что в противном случае R содержало бы идемпотент, воспользоваться упражнением 9а.] В частности, R тогда бесконечно. R называется остаточным множеством полугруппы с левым сокращением Е.
г) Если R не пусто ив E существует хотя бы один идемпотент и (т. е. E Ф R), то для каждого x?REu имеем хЕифЕи. [Показать, что в противном случае существовало бы a ?R, для которого aR — = Л.] В частности, ни один элемент из REu необратим в Eu и REu-бесконечное множество. [Использовать упражнение 8.]
д) Если E обладает нейтральным элементом е, то он является единственным идемпотентом в E и R пусто. [Заметить, что E=Ee.]
е) Если существует а (Е E такое, что правый перенос 6а является взаимно однозначным отображением E в E (в частности, если заданный на E закон коммутативен), то либо E обладает нейтральным элементом, либо E=R. [Заметить, что если существует идемпотент и, то ха = хиа для каждого х?Е.]
ж) Если существует a (Е E такое, что ба является отображением E на Е, то либо E обладает нейтральным элементом, либо E=R. [Рассмотреть отдельно случаи a ?R и а Є Eu, где и — идемпотент.]
*12) Пусть на E задан мультипликативный закон и а ?Е таково, что Ya является отображением E на Е.
а) Показать, что если существует и, для которого иа=а, то их=х для всякого х ?Е.
б) Для того чтобы Yla было взаимно однозначным отображением E в Е, необходимо и достаточно, чтобы Ya было взаимно однозначным отображением E на Е, а Yb — взаимно однозначным отображением E в Е.
*13) Предположим, что Yx Для каждого х (E есть отображение E на Е. Показать, что если уа для некоторого a g E есть взаимно однозначное отображение E на Е, то Yx Для каждого х (Е E есть взаимно однозначное отображение E на Е. [Использовать упражнение 126.] То же, в частности, верно, если в E существуют элементы а, Ъ такие, что аЪ= Ъ. [Использовать упражнение 12а.] E является тогда полугруппой с левым сокращением, остаточное множество R которой пусто; кроме того, для каждого идемпотонта и все элементы из Eu обратимы в Eu.
