Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Если R — отношение эквивалентности в множестве Е, согласующееся с заданной в E алгебраической структурой, то каноническое отображение E на ElR есть представление; оно называется каноническим представлением E на Е/R (или каноническим гомоморфизмом E на ElR, если все законы композиции на E всюду определены).
Пусть законы композиции на E и F всюду определены, / — гомоморфизм E в F и R — отношение эквивалентности / (х) = / (г/); теорема 1 показывает, что каноническое разложение (Теор. мн., Рез., § 5, п° 3) гомоморфизма / дает:
1° канонический гомоморфизм E на ElR;
2° изоморфизм EIR на f(E), называемый взаимно однозначным представлением, ассоциированным с /;
3° каноническую инъекцию f(E) в F.
Предложение 2. Пусть E, F, G — множества, наделенные гомологичными алгебраическими структурами, / — представление E в F и g — представление FeG; тогда gof есть представление EeG.
Это предложение непосредственно следует из определения 7.
Предложение 3. Пусть E — множество, наделенное алгебраической структурой, R — согласующееся с ней отношение эквивалентности, / — каноническое представление E на ElR и F — множество, наделенное структурой, гомологичной заданной в Е.
*) То есть является взаимно однозпачным отображением E в F.— Перев.
**) Инъекция — взаимно однозначное отображение в. Канопическая инъекция множества AdE в E — отображение относящее каждому элементу из А этот же элемент в Е.— Перев.
4
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
69'
Для того чтобы отображение g EIR в F было представлением, необходимо и достаточно, чтобы g°f было представлением EeF
Необходимость условия вытекает из предложения 2. Легке1 убеждаемся в его достаточности: если композиция и Tv элементов и и v из EIR относительно внутреннего закона T определена, то в E существуют элемент х класса и и элемент у класса v, для которых хТУ определено; тогда g (f(x)) Tg (f (у)) ’определено и равно g (/ (хТу)), т. е. g (и) Tg1 (^определено IipaBHOg (иТ у); аналогичное' рассуждение для внешних законов.
В остающейся части этого п° мы будем рассматривать множе-, ство Е, наделенное алгебраической структурой, задаваемой всюду определенными законами композиции. В обозначениях предложения 3, пусть S — отношение g (х') = g (у') в ElR и T — отношение S (/ (х)) — § if (у)) в Е; S есть факторотношение TlR отношения T по R (Теор. мн., Рез., § 5, п° 9); по теореме 1 образ EIR при отображении g изоморфен (EIR)IS; но он есть также образ E при отображении go/, и теорема 1 показывает, что он изоморфен ElT.' Тем самым, беря в качестве g канонический гомоморфизм ElR на (EIR)IS, получаем следующую теорему:
Теорема 2 (первая теорема об изоморфизме). Пусть E — множество, наделенное алгебраической структурой, и R — согласующее', ся с ней отношение эквивалентности в Е. Тогда каждое отношение, эквивалентности S в ElR, согласующееся с факторструктурой множества E по R в ElR, имеет вид TlR, где T — отношение эквих валентности в Е, являющееся следствием R и согласующееся сби структурой, заданной в Е; и обратно. При этом каноническое отображение EU на (ElR)I(TlR) есть изоморфизм.
Будем обозначать через / канонический гомоморфизм E на. ElR; пусть А — устойчивое подмножество множества E, наделенное индуцированной структурой; сужение / на А есть представле-, ние А в EIR, и значит, по теореме I, f (А) изоморфно AIRa. где Ra — отношение, индуцированное отношением RbA (Теор. мн., Рез., § 5,11° 5). Пусть В — подмножество множества Е, полученное путем насыщения А по R (Теор. мн., Рез., § 5, п° 6); В также устойчиво. Действительно, пусть х ?В, у ? В; по определению,, существуют х’ g А и у’ ? А такие, что х = х’ и у == у’ (mod R); для)
YQ алгебраические структуры гл. X, § 4
любого внутреннего закона T из определяющих заданную в E алгебраическую структуру имеем x'jy'^A и Xj у = х' Jy' (mod В), откуда хТу?В; аналогично для внешних законов. Поскольку BIRb изоморфно f(B), a f(B) = f(A), нами получена
Теорема 3 (вторая теорема об изоморфизме). Пусть E — множество, наделенное алгебраической структурой, А — его устойчивое подмножество и R — отношение эквивалентности, согласующееся со структурой, заданной в Е. Множество В, получающееся путем насыщения А по R, устойчиво; отношения R^ и Rb, индуцированные отношением ReAuB, согласуются со структурами, индуцированными в AuB из Е, и каноническое отображение *) AIRa на BIRb есть изоморфизм.
Пусть L (Л) — свободный моноид, порожденный множеством А, M — моноид с нейтральным элементом ей/ — отображение А в М. Существует, и притом единственное, представление g моноида L (4) в М, переводящее 0 в е и служащее продолжением / (так что L(A) есть решение универсальной проблемы (см. Теор. мн., гл. IY, § 3)). Действительно, если S= (a^ig/ — непустое слово из L(A), то примем за g (s), по определению, композицию последовательности (f(ai))i^i; кроме того, положим g(0) = e; по теореме ассоциативности, g — представление. С другой стороны, пусть g' — представление L(A) в М, являющееся продолжением / и переводящее 0 в е, и пусть В — та часть L(A), на которой g и g' совпадают; тогда 0 Є В, A CZ В, В устойчиво относительно заданного в L(A) умножения, значит, B=L(A), и следовательно, g’ = g-
