Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Легко видеть, что, каково бы ни было a G Z, отношение х = у (а) согласуется со сложением и умножением в Z; следовательно, при факторизации они порождают коммутативные ассоциативные законы; эти законы называют сложением и умножением по модулю а (а > 0). При отождествлении фактормножества множества Z по сравнению (mod а) с интервалом [0, а —1] суммой (соответственно произведением) по модулю а элементов г, s этого интервала
5 Н. Бурбаки
00 алгебраические структуры ГЛ. I, § 4
является вычет по модулю а их суммы r-j-s (соответственно произведения rs) в Z.
Отношение X =; 0 (mod а) выражают также следующим юбразом:
чх кратно я», «я — делитель х», «я делит х».
Заметим, что если х Ф О кратно а, то х регулярно относительно умножения в Z, но его класс (mod а) не является регулярным^элементом относительно умножения по модулю а.
Ясно, что фактормножество множества N по отношению, индуцированному на N отношением х = у (я), совпадает с множеством всех рациональных целых по модулю а; сложение и умножение по модулю я можно получить также, взяв факторзаконы сложения и умножения в N по этому индуцированному отношению.
В § 6 мы увидим, что отношения сравнения х = у (а) являются единственными отношениями эквивалентности в Z, согласующимися со сложением.
4. Представления; гомоморфизмы
Определение 7. Пусть EuF — множества, наделенные гомологичными алгебраическими структурами, и f — отображение E в F. При обозначении соответственных законов композиции на E и F одинаковыми символами, / называется представлением EeF, если:
1° для каждого внутреннего закона композиции T > заданного на EuF, всякий раз, когда определено хТ у, определено также f{x)Tf(y) и f(xjy) = f(x)jf(y);
2° для каждого внешнего закона X. > заданного на E и F, всякий раз, когда определено a_Lx, определено также a ±f (х) и f (а±х) = = аIf (х).
Из определения 7 следует, в частности, что для каждой пары соответственных внутренних законов у, заданных на E и F, { есть представление EbF при структурах, определяемых одними этими законами (§ I, n0 1); если законы T всюду определены, то для каждой серии (хх)х?ь элементов из E имеет место тождество
/(T 1Il= I /(**)’
'я.6/. ' А CL
0)
4
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
67
в справедливости чего можно убедиться индукцией по числу элементов множества L.
Более общим образом, пусть (E1, ..., En) и (Е[, ...,Е'п) — две системы множеств, наделенные гомологичными алгебраическими структурами. Пусть /; (1 г п) — отображение Ei в Ei. Говорят, что (fi, . . . , /п) есть представление (E1, . . . , En) в (Е[, . . . , En), если выполнены следующие условия: I0 Ii удовлетворяет условию 1° определения 7 для каждого внутреннего закона у, заданного на Ei и Е\\ 2° /{ удовлетворяет условию 2° определения 7 для каждого внешнего закона J., заданного на Ei n Ei п имеющего своей областью операторов некоторое вспомогательное множество; 3° для каждого внешнего закона, заданного на Ei (соответственно Ei) и имеющего своей областью операторов Ej (соответственно Ej), всякий раз, когда XjJlmXi (где Xi € Ei, Xj с Ej) определено, /;- (х,) _]_ /; (ж;) определено и равно U(xj S_xi)-
Если все законы композиции, определяющие структуру в Е, всюду определены, представление / E в F называется также гомоморфизмом *) E в F; если при этом / (E) = F, то / называют гомоморфизмом E на F; гомоморфизм E в себя называют эндоморфизмом Е.
Если существует гомоморфизм E на F, то говорят, что структура в F гомоморфна структуре в E (или является ее гомоморфным образом). Структуры, гомоморфные заданной, характеризуются следующей теоремохі, доказательство которой непосредственно вытекает из определений:
VТеорема 1 (теорема о гомоморфизмах). Пусть EuF — множества, наделенные гомолоеичными алгебраическими структурами, и законы композиции в E всюду определены. Если / — гомоморфизм EeF, то / (E) есть устойчивое подмножество множества F и, наделенное индуцированной структурой, изоморфно результату факторизации E по отношению эквивалентности / (х) = / (у) (которое согласуется со структурой, заданной в Е).
*) Когда EvF наделены не только алгебраическими структурами, но и топологиями, удовлетворяющими определенным условиям, термин «гомоморфизм» употребляется в более ограниченном значении и уже не является синонимом «представления» (см. Общ. топ., гл. III, § 2). Ho при отсутствии топологических структур эта синонимия не доставляет никаких неудобств.
5*
68
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
ГЛ. I, § 4
Если законы композиции на E не всюду определены, то теорема может утратить силу, поскольку тогда композиция / (х) и / (у) относительно внутреннего закона, заданного на F, может быть определена также, когда композиция xvy относительно соответствующего закона на E не определена, и аналогично для внешних законов.
Если гомоморфизм / E в F инъективен *), f(E) по теореме 1 изоморфно Е; / можно рассматривать тогда как изоморфизм E на f(E), наделенное индуцированной структурой. В частности, для каждого устойчивого подмножества А множества E со всюду определенными законами композиции каноническая инъекция **) А (наделенного индуцированной структурой) в E есть гомоморфизм.
