Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бурбаки Н. -> "Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра " -> 32

Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.

Бурбаки Н. Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра — М.: Физ-мат литературы, 1962. — 515 c.
Скачать (прямая ссылка): algebraicheskiestrukturi1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 201 >> Следующая


Если внешний закон ассоциативен относительно закона, противоположного мультипликативному закону, заданному на его области операторов, то для этого внешнего закона принимается либо обозначение посредством умножения справа х-а, либо экспоненциальное обозначение зР-, так что ассоциативность выражается соответственно тождеством гфсс) = (^P)CC или ^Pa = (гР)“.

Примеры. 1) Если на множестве E задап мультипликативно записываемый ассоциативный закон, то внешний закон (и, х) —> хп ассоциативен относительно умножения в N*, поскольку (Xm)'" = хтп (ввиду коммутативности, умножение в SN* ничем не отличается от противоположного ему закона). Аналогично для п ? N, если в E имеется нейтральный элемент, и для п ^ Z, если все элементы из E обратимы.

2) Если на множестве E задан ассоциативный закон Т, то внешний закон композиции (а, X) —> аТ X элементов из E (операторов) и подмножеств X множества E ассоциативен относительно закона T
ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ЗАКОНАМИ КОМПОЗИЦИИ

81

на Е; внешний закон (а, X) —> X T я ассоциативен относительно закона, противоположного Т.

3) Внешний закон композиции (/, х) / (х) отображений / множества E в E (операторов) и элементов из E ассоциативен относительно внутреннего закона fog; точно так же закон композиции (А, X) A (X) множеств А d EXE (операторов) и множеств XdE ассоциативен относительно внутреннего закона А°В.

4) Внешний закон композиции (А, X) —>АоХ операторов Ad d FXF и множеств XdEXF ассоциативен относительно закона композиции AoB операторов; внешний закон композиции (В, Y)

—YcB операторов BdEXE и множеств YdEXF ассоциативен относительно закона, противоположного закону композиции BoC операторов.

Непосредственно ясно, что ассоциативность внешнего закона относительно внутреннего закона, заданного на его области операторов, сохраняется при факторизации и переходе к произведениям.

3. Перестановочность

Определение 5. Пусть T — всюду определенный внешний закон композиции операторов a g Q и элементов из E и JL — всюду определенный внешний закон композиции операторов P ? 0 w элементов из Е. Говорят, что эти два закона перестановочны, если имеет место тождество

a T (Р X ж) = P JL (a Tz). (7)

Иными словами, если (fa)a?Q и (gp)pee— семейства отображений E в Е, порождаемых соответственно операторами законов T0X1 /а должно быть перестановочно с gp относительно закона fog, каковы бы ни были аир. Внешние законы, о которых идет речь, обычно обозначаются мультипликативно; если все они записываются посредством умножения слева, то перестановочность двух законов выражается тождеством а($х) = Р(оиг); если один записывается посредством умножения слева, а другой — умножения справа, то перестановочность выражается тождеством а(а:Р) = (ах)Р, и общее значение обеих частой равенства обозначается просто агф; эта запись оправдывает наименование рассматриваемой пары внешних законов двояко ассоциативной, что- в данном случае рассматривается как синоним «перестановочности».

6 Н. Бурбаки
82

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ

ГЛ. I, § 5

Перестановочность двух внешних законов сохраняется при

факторизации и переходе к произведениям.

Примеры. 1) Если T —ассоциативный закон на множестве

Е, то внешние законы композиции (а, X) -> a T-JT и (6, X) XT Ь операторов из E и множеств XdE перестановочны.

2) Внешний закон композиции (А, X)—> А°Х операторов Acz С~ FXF и множеств XdEXF перестановочен с внешним законом композиции (В, X) -* XoВ операторов В d ExE и множеств X d EXF.

Упражнения. 1) Пусть _L —всюду определенный внутренний закон на Е, двояко дистрибутивный относительно ассоциативного внутреннего закона T; показать, что если х JLx' и у Xy' регулярны относительно закона Т, то х 2-у' перестановочно с у 2-х' относительно этого закона. [Вычислить композицию (хTу) X (х' Tу') двумя различными способами.] В частности, если закон X обладает нейтральным элементом, то два элемента, регулярных относительно Т, перестановочны относительно этого закона; если все элементы из E регулярны относительно T , то этот закон коммутативен.

2) Пусть T и X —всюду определенные внутренние законы на множестве E и левый внешний закон, порожденный законом X, дистрибутивен относительно T.

а) Если закон T обладает нейтральным элементом е, то каково бы ни было х ?Е, х-Le есть идемпотент относительно T ; если при этом существует у такое, что х Xy регулярно относительно Т, то гХе=е.

б) Если закон X обладает нейтральным элементом и и существует элемент z g Е, регулярный одновременно относительно обоих законов X и T, то и регулярен относительно T.

*3) Пусть T и X—всюду определенные внутренние законы ма Е, обладающие каждый нейтральным элементом. Если левые внешние законы, порожденные законами T и X, дистрибутивны друг относительно друга, то все элементы из E являются идемпотентами относительно каждого из этих двух законов. [Пусть е — нейтральный элемент относительно T и и—нейтральный элемент относительно X; доказать прежде всего, что еХе=е, воспользовавшись тем, что с = еX (и T е).]

4) Пусть на множестве E заданы три всюду определенных внутренних закона композиции: сложение (не обязательно ассоциативное или коммутативное), умножение (не обязательно ассоциативное) и некоторый закон T. Предположим, что умножение обладает ней-
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 201 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed