Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
При коммутативности умножения из этой формулы вытекает, что для целых т>О, п>0 и каждого семейства (Xi)1 ^элементов из E имеет место формула
(X1 + X2 + ¦ . . + Хт)П — 2 cP1P2 ¦ ¦ ¦ PmxlIl Х22 ¦ • •
ХР„
где суммирование в правой части производится по всем последовательностям (Pi)I^iJgm из т целых чисел >0 таким, что
m
= а
1=1
п!
3W--Pm р^.ргХ ... Рт\
есть число всевозможных отображений [1, п\ на [1, т\, принимающих рк раз значение А; (1<А;<пг) (Теор. мн., гл. III, § 5).
При т — 2 получаем формулу, известную под наименованием бинома Ньютона'.
Ti
(х+2/)п= 2(">v-p.
P=O
где так называемые биномиальные коэффи-
циенты.
Примеры. 1) Если мультипликативно записываемый закон на E ассоциативен и коммутативен, то закон композиции (п, х)—>хп операторов я ? N* и элементов х ? E дистрибутивен относительна указанного умножения (§ 1, формула (8)); но, вообще говоря, это уже не будет так, если умножение не коммутативно. Если коммутативное и ассоциативное умножение обладает, кроме того, нейтральным элементом, то закон хп дистрибутивен для п ? N, и это верно также для п 6 Z, если, сверх того, каждый элемент из E обратим.
Аналогичные результаты имеют место и для аддитивно записываемого коммутативного ассоциативного закона на E при замене обозначения хп на п-х.
2) Если мультипликативно записываемый закон на E ассоциативен, то закон (п, х) —> хп дистрибутивен относительно совокупности сложения в N* и умножения в Е, поскольку хт*п=хтхп. Значит, если рассматриваемое умножение коммутативно, то закон хп двояко дистрибутивен. Если каждый элемент из E обратим, эти результаты распространяются на все п 6 Z.
3) Внешний закон композиции (К, X) К (X) операторов К а с~ЕХЕ и элементов X из ^ (E) дистрибутивен относительно внутреннего закона П на ЩЕ), но не относительно H (Теор. мн., Рез., § 3,
I
ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ЗАКОНАМИ КОМПОЗИЦИИ
Ii0 8); он также дистрибутивен относительно совокупности внутренних законов U па 4Д5 (2?) и %(ЕХЕ), т. е. если K=K' U К", то
K(X)=K' (X) [J Km(X).
Аналогичные результаты имеют место для внешнего закона композиции AoX операторов A CFXF и элементов X из $ (EXF).
4) Каждый из внутренних законов [J, П на 1Q(E) (двояко) ди-
стрибутивен относительно другого.
5) В Z умножение дистрибутивно относительно сложения; сло-
жение дистрибутивно относительно законов sup (х, у) и inf (х, у); каждый же из этих двух последних законов дистрибутивен относительно другого и самого себя. В N н умножение дистрибутивно относи-
тельно sup (х, у) и inf (х, у).
6) Пусть T — внутренний закон на множестве Е; правый внешний закон, порождаемый законом fog, дистрибутивен относительно закона композиции / T g отображений E в Е, т. е. (/T g)oh=(foh) T T (go/г); но для левого внешнего закона, порождаемого законом fog, это уже неверно.
Подобно ассоциативности и коммутативности, определенные выше различные виды дистрибутивности сохраняются при факторизации и переходе к произведениям. Точнее говоря, если, например, внутренний закон X на E двояко дистрибутивен относительно внутреннего закона T * &R — отношение эквивалентности, согласующееся с законами X и T * то факторзакон закона X по R двояко дистрибутивен относительно факторзакона закона J по й; аналогично для других видов дистрибутивности и перехода к произведениям.
Замечание. Если X —внешний закон, дистрибутивный относительно внутреннего закона T на Е, А и В — подмножества множества E и Ф — подмножество множества Q операторов закона _L , * то формула Ф_L (А TB) = (Ф 1.А) T (ФА.В), вообще говоря, не верна (иными словами, распространение закона X на множества подмножеств не дистрибутивно относительно распространения закона Т). Действительно, ФХ(^4Т#) есть множество всевозможных элементов aJL (хТ г/) = (CtXz) T (а X у), где а ? Ф, х?А, у?В, тогда как (ФХ<4)Т(ФХ.В) есть множество всевозможных элементов (а X х) T (Р X у), где а ? Ф, (3 6 Ф, х?А, у?В, и вообще можпо лишь утверждать, что Ф X (A TjB) С (Ф X A) T (ФХВ). С другой стороны, очевидно, что для каждого agQ имеем
а X (A T В) = (а X A) T (а X В).
«о
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
ГЛ. I, § 5
2. Ассоциативность
Определение 4. Пусть _1_ — всюду определенный внешний закон композиции операторов a и элементов множества EuT-всюду определенный ассоциативный закон композиции элементов из Q; говорят, что закон J. ассоциативен относительно закона T • если имеет место тождество
(атР)±з = а±(Р±а;). (6)
В других терминах, если положить fa(x)=alx (так что (/«)«?q— семейство отображений E в Е, порождаемых операторами закона ±), должно иметь место равенство/a-[-p=/ao/g, т. е. отображение а—у —>/а есть представление множества Q (наделенного законом Т) в множество всех отображений E в E (наделенное законом fog).
Если внешний закон ассоциативен относительно некоторого внутреннего закона (заданного на его области операторов) и если этот последний записывается мультипликативно, то чаще всего рассматриваемый внешний закон записывают посредством умножения слева а-х, так что ассоциативность выражается тождеством {a|3) z = a (Jiz); эта композиция обозначается тогда офаг; точно так же (в силу ассоциативности умножения в Q) (офу) х = а (Руаг) = = (сф) (уж)=а(Р (yz)), и общее значение этих композиций обозначается сфуаг; аналогичные формулы имеют место для произведения любого числа операторов.
