Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
42
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
ГЛ. I, § 2
? AT А'\ наконец, AT А' содержит также А', ибо в тех же обозначениях имеем у' = (уТ у')Т у’ — уТ(у' Ту) Є А TA'. TaKHja образом, множество ATA', наделенное законом, индуцированным законом T і удовлетворяет всем условиям задачи. Поэтому, если задача разрешима, можно наложить на E дополнительное условие;
3° E порождается объединением множества A—f(E) и множества А’, состоящего из элементов, симметричных образам всевозможных регулярных элементов из E при отображении /.
Покажем, что условия 1°, 2°, 3° влекут единственность Ё (с точностью до изоморфизма). Действительно, снова в предположении разрешимости задачи, каждый элемент из E имеет вид хTу’, где х?А, а у’ — элемент, симметричный некоторому у?А*. Для того чтобы XlTyl-X2Ty'., необходимо и достаточно (принимая во внимание регулярность Ij1 и г/2), чтобы
(^i T IfdTiy1T Ул) = (хг Ту'2) T (W1T у.2),
т. е. (поскольку T коммутативен) чтобы X1T У2~х2Т Уі- Отсюда тотчас следует, что это последнее отношение есть отношение эквивалентности между элементами (xlt ^1) и (х2, у2) произведения А X А* и что существует взаимно однозначное отображение множества E на фактормножество множества А X А* по этому отношению.
Переходя с помощью изоморфизма, обратного /, от А к Е, мы видим, что если задача разрешима, то отношение K1Ty2 = U2Tyj между элементами (ut, O1) и (и2, V2) произведения EXE* есть отношение эквивалентности и существует взаимно однозначное отображение множества E на фактормножество произведения EXE* по этому отношению. Кроме того, если перенести с помощью этого отображения структуру, определяемую законом T в Е, то композицией класса эквивалентности элемента (U1, V1) и класса эквивалентности элемента (и2, и2) будет класс эквива-
лентности элемента (U1Tu2, U1Tus); действительно, если X1 g Л, х2 A, yteA*, у2?А*, то (X1T у\) T (х2 T у'2) = (х1 T х2) T (Уі T у'2), а у\Ту'г есть элемент, симметричный JZ1TIZ2- Таким образом, всё это показывает, что если можно определить Е, закон T и изомор-
4 НЕЙТРАЛЬНЫЙ, РЕГУЛЯРНЫЕ, СИММЕТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 43
физм / так, чтобы удовлетворялись условия 1°, 2°, 3°, то E будет определяться с точностью до изоморфизма заданием E и закона T •
При этом каждый регулярный элемент из E симметризуемо действительно, если хТ у' (где х?А, у?А*) регулярно в E, то (предложение 2) это верно и для (xjУ')Т У = х; тогда х тем более регулярно в А и, значит, по предположению симметризуемо в Е; следовательно, и xjy' симметризуемо. Таким образом, это свойство множества E является следствием предположенной справедливости свойств 1 °, 2°, 3°.
Остается доказать, что задача действительно разрешима. Руководствуясь предшествующим, прежде всего покажем, что отношение U1T V2 = U2J V1 между элементами (U1, U1) и (и2, V2) произведения EXE* есть отношение эквивалентности. Действительно, очевидно, это отношение R рефлексивно и симметрично; оно также транзитивно, ибо отношения U1J V2= U2J V1, U2Jv3=U3JV2 влекут U1Tt12To3 = H2 T V1 J V3 = U2JV3JV1=U3JV2JV1, и значит (в силу регулярности V2), U1T^3 = W3Tu1.
Обозначим теперь через Ё фактормножество произведения E X Е* но отношению R. Пусть X1 и х2 — элементы из Е, (U1, ^1) и (и2, V2)-элементы из классов эквивалентности X1 и х2; класс эквивалентности, содержащий (U1T^2' ^Т^), зависит только от X1 и х2, ибо при замене (U1, ^1) эквивалентным элементом (u3, vs) будем иметь U1J V3 = U3J V1 и потому (U1 T M2) т (v3 J V2) = = (IisiJu2)J(V1JV2); аналогичный результат получим, заменив (и2, O2) эквивалентным элементом (u4, Vi). Обозначим класс, которому принадлежит Iu1Ju2, V1JV2), через Z1Tz2- T есть закон композиции элементов множества E, очевидно, ассоциативный и коммутативный.
Покажем, что E обладает нейтральным элементом относительно этого закона. Действительно, все элементы из EXE* вида(м>, w), где wg E*, эквивалентны; и обратно, если (u, v) эквивалентен (w, w), то ujw=vjw, и значит (в силу регулярности w), u=v. Пусть е — класс, образованный элементами (w, w). Если (и, v)?ExE* и w?E*, то (uj w, vjw) эквивалентно (и, v); следовательно, е является нейтральным элементом относительно закона Т> и условие 1° выполнено.
44 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 2
Рассмотрим в ExE* множество всех элементов вида (u T v, v), где и — заданный элемент из Е, a v пробегает E*; все элементы этого множества эквивалентны, и обратно, если (иг, V1) эквивалентно одному ИЗ ЭТИХ элементов (иТ V, v), TO U~\~ V~\~ V1-U1T V. откуда (в силу регулярности у) U1=UT V1, иными словами, эле менты (uT V, и) образуют класс эквивалентности; обозначив его f(u), мы тем самым определим взаимно однозначное отображение / множества E на некоторую часть А множества Е\ легко проверяется, что А устойчиво относительно закона T и что / есть изо-. морфизм й на Л. Наконец, если и ¦— регулярный элемент из E, то f(u), т. е. класс (иТ v, v), обладает в E симметричным элементом, а именно классом (и, иT v) (поскольку в этом случае uTV Є E*); тем самым условие 2° выполнено и поставленная задача решена. Итак, мы доказали следующую теорему:
