Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Нейтральный элемент аддитивно записываемого закона обозначается 0 и называется нулем или началом, если только это не сопряжено с риском смешения (например, с натуральным числом 0); при законе, записываемом мультипликативно, нейтральный элемент обозначается 1 и называется единицей (или единичным элементом), с той же оговоркой.
Я. Регулярные элементы
Определение 3. Пусть T — заданный всюду определенный закон композиции элементов множества Е. Левым (соответственно правым) переносом, соответствующим элементу а ?Е, называется отображение х—>аTx (соответственно х—>хТо) множества E в себя.
2 НЕЙТРАЛЬНЫЙ, РЕГУЛЯРНЫЕ, СИММЕТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 37
Прилагательные «левый» и «правый» проистекают от обычной записи большинства законов композиции. При переходе к противоположному закону левый перенос становится правым, и обратно.
Левый и правый переносы, соответствующие элементу а?Е. будут иногда обозначаться уа и Ьа, т. е.
Ya(x) = aTx, ba(x) = xja.
Предложение 1. Если J—ассоциативный закон, то левый перенос у- соответствующий композиции х и у, совпадает с композицией 'Yx0Yu переносов уу и « правый перенос 6* с композицией ЬуоЬх переносов Sjc и Sy.
Действительно,
Ухту (z) = (xJу)Jz = XT (yJz) = ух (уи (z)),
6xTy(z) = zT (xjy) = (zjx) Jy = Sm(S3c(Z))1
Иными словами, отображение х -*¦ ух есть представление множества E (наделенного законом T) в множество Ee всех отображений E в себя, наделенное законом fog; ах-» 6* есть представление E в мно жество Ee, наделенное законом, противоположным f-g.
Определение 4. Пусть J — всюду определенный закон композиции элементов множества Е. Элемент а?Е называется регулярным относительно закона T > если соответствующие а правый
и. левый переносы являются взаимно однозначными отображениями E в себя.
Иными словами, для того чтобы а был регулярным, необходимо и достаточно, чтобы каждое из соотношений aJх=аJу, хТ а—у J а, влекло х=у (т. е. чтобы эти равенства, как говорят, можно было «сократить на а»). Если закон T обладает нейтральным элементом е, то последний регулярен относительно этого закона: переносы Ye и являются тогда тождественными отображениями E на себя.
Если X и Y — подмножества множества E и а — регулярный элемент этого множества, то каждое из соотношений {а}Т-У= = {а}ТУ, X J {a}= Y J {а} влечет X=Y.
Напротив, даже если каждый элемент множества А Cr E регулярен, соотношение A J X=A J Y (как и соотношение XJA = = YjA), вообще говоря, не влечет X = Y.
38
АГГГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
ГЛ. I, § -
Примеры. 1)7Каждое натуральное число регулярно относительно сложения; каждое натуральное число Ф 0 регулярно относительно умножения; каждое натуральное число, кроме 0 и 1, регулярно относительно возведения в степень.
2) В решетке не может существовать никакого регулярного элемента относительно закона sup(x, у), кроме нейтрального (т. е. наименьшего) элемента; аналогичное верно для inf (х, у). В частности, в множестве всех подмножеств множества E 0 есть единственный элемент, регулярный относительно закона (J, а У? — единственный элемент, регуляр ный относительно закона f 1.
Предложение 2. Множество всех регулярных относительно ассоциативного закона элементов устойчиво относительно этого закона.
Действительно, если уу и ух взаимно однозначны, то это верно и для YхТи =Yx0Yy (предложение 1). Аналогично для 6*-г,,
Если элемент х регулярен относительно закона T, то он регулярен и относительно закона, индуцированного этим законом на каждом устойчивом множестве А, содержащем х (но элемент из А может быть регулярным в А, не будучи регулярным в Е); в частности, если R — множество всех элементов множества Е, регулярных относительно ассоциативного закона Т, то все элементы из R регулярны относительно закона, индуцированного законом T иа й.
¦{. Симметричные элементы
Определение 5. Пусть T — закон композиции элементов множества Е, обладающий нейтральным элементом е. Элемент х' называется симметричным элементу х, если хТх'=х'Tх==е; элемент х называется симметризуемым, если существует элемент, симметричный х.
Примеры. 1) Нейтральный элемент, если он существует, симметричен сам себе. Может случиться, что в ? не существует других симметричных элементов; так обстоит дело для сложения и умножения в N; так же обстоит дело и для закона sup (ж, у) в решетке.
2) В множестве всех отображений E в E симметризуемыми элементами относительно закона j°g являются взаимно однозначные отображения E на E (Теор. мн., Рез., § 2, п° 12); симметричным такому отображению / служит обратное отображение.
НЕЙТРАЛЬНЫЙ, РЕГУЛЯРНЫЕ, СИММЕТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 39
Пусть E и F—множества, каждое из которых наделено внутренним законом, обозначаемым Т> и / — представление E в F; если х и X1 симметричны в E, то f(x) и / (V) симметричны в / (E).
Предложение 3. Относительно ассоциативного закона T на E каждый симметризуемый элемент х регулярен и обладает единственным симметричным, а соответствующие левый и правый переносы Yx и &х являются взаимно однозначными отображениями E на Е.
