Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бурбаки Н. -> "Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра " -> 17

Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.

Бурбаки Н. Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра — М.: Физ-мат литературы, 1962. — 515 c.
Скачать (прямая ссылка): algebraicheskiestrukturi1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 201 >> Следующая


Теорема 1 (теорема симметризации). Если T — всюду опре деленный коммутативный ассоциативный закон композиции элементов множества Е, то можно определить множество Е, коммутативный ассоциативный закон композиции T элементов этог/f множества и подмножество А множества Е, устойчивое относительно закона T, так, чтобы выполнялись следующие условия-.

1° существует изоморфизм E (наделенного законом T) на А (наделенное законом, индуцированным законом Т), относящий каждому регулярному элементу из E элемент из А, симметризуе-мый в Е;

2° E порождается объединением А и множества А' элементов, симметричных всевозможным регулярным элементам из А.

При этом указанные условия определяют множество E однозначно (с точностью до изоморфизма) и каждый регулярный элемент из E симметризуем.

Следствие. Если все элементы множества E регулярны. то все элементы множества E симметризуемы.

Действительно, это вытекает из условий 1° и 2° теоремы 1 и предложения 5.

Структура, определяемая в E законом T, подпадает тогда под род групповых структур, рассматриваемый в § 6.
5 НЕЙТРАЛЬНЫЙ, РЕГУЛЯРНЫЕ, СИММЕТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 45

Множество Е, построенное при доказательстве теоремы 1. наделенное законом T , будет называться симметризованным множеством (или результатом симметризации) множества E (относительно T); мы будем говорить, что T получен путем симметризации закона T • В применениях теоремы I E чаще всего удобно отождествлять (Теор. мн., Рез., § 8, п° 5) с множеством, обозначенным выше через А, что позволяет (допуская вольность) говорить, что ? «погружено» в его симметризованное E и что T есть продолжение по симметрии закона T • Этот условный язык будет применяться, в частности, в следующих двух важных примерах.

4. Применения: I. Рациональные целые числа

Примем за E множество N натуральных чисел, а за закон композиции — сложение; все элементы из N регулярны относительно этого закона. Результат симметризации множества N обозначим Z; его элементы называют рациональными целыми числами', закон, полученный путем симметризации сложения, заданного в N, называется сложением рациональных целых чисел и по-прежнему обозначается +• Элементами множества Z являются, по определению, классы эквивалентности, определяемые в NxN отношением между (/Ti1, пх) и (т2, п2), записываемым равенством т^-\-п^тг-^пх\ все эти элементы симметризуелш; элемент m^'S отождествляется с классом, образованным парами (т+п, п), где п пробегает N; симметричным ему элементом в Z служит класс пар (п, т+п). Ho каждая пара (р, q) из NxN может быть записана в виде (m+я, п), если р > q, или в виде (п, щ+n), если д; отсюда вытекает, что Z есть объединение N и множества элементов, симметричных всевозможным элементам из N. При этом нейтральный элемент 0 является единственным элементом из N, симме тричный к которому принадлежит N.

Рациональное целое, симметричное натуральному числу тфО. обозначается —т; Z есть объединение N и множества всех элементов —т, где т? N, тф0; т отождествляется с классом, содержащим (т, 0), а —т с классом, содержащим (0, т)\ отсюда (принимая во внимание сказанное при доказательстве теоремы 1> легко получаем выражение для суммы двух рациональных целых; при mgN, N, пФ0 имеем:
46

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ

ГЛ. I, § ^

а) если пъ^п, то m-f (—п)=р, где р — элемент из N такой, что т=п-\-р;

б) если т<п, то т + (— п) = — р, где р — элемент из N такой, что т-\- р = п;

в) если тФ 0, то (— т) + ( — п) — — (т + п).

Эти соотношения остаются в силе и без ограничения ге^О. а в случае в) — также т ф 0, если условиться, что — 0 означает 0.

Более общим образом, через —х обозначают элемент, симметричный х, для произвольного рационального целого х и называют его чаще всего элементом, противоположным х; композиция 1-4-( — у) обозначается сокращенно х — у.

Отношение порядка п между натуральными числами (Теор. мн., гл. III) обладает следующим свойством: если та<ге, то т + р < п + р для каждого N; покажем, что в Z можно определить, и притом единственное, отношение порядка,'которое будет обозначаться по-прежнему х< у, индуцирующее в N указанное отношение и такое, что у влечет a: + z< г/-f z для каждого zg Z (этот порядок в Z называют инвариантным относительно переносов; CM. гл. VI).

Действительно, при таком отношении мы для каждого т? N олжны иметь 0<то, откуда (— т) < т -f- (— пг)==0; если х и у — рациональные целые такие, что а: < у, то Q = х — х<С У — х, следовательно, у — х=т б N и, значит, у=х-\-т; обратно, если существует т g N такое, что у=х + т, то 0 -f то -f ;г, т. е. х<Су\ таким образом, если существует отношение порядка, удовлетворяющее указанным условиям, оно необходимо эквивалентно отношению «существует /и? N такое, что у = Xjr т» (или также у — х ?N). Обратно, зто последнее отношение действительно является отношением порядка, ибо оно, очевидно, транзитивно, и если у=х-\-т. т=г/-(- п, п? N, то то-f п = 0, откуда т=п = 0 и х=у; при

этом оно действительно удовлетворяет поставленным условиям; IiaKOHen1Z совершенно упорядочено этим отношением, ибо х—у— — — (у — х) и потому, каковы бы ни были х и у из Z, всегда (/ — яб N или х — у б N, т. е. у или г/< х.
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 201 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed