Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
9) Отображения (х, у) -* х и (х, у) — у являются противоположными ассоциативными законами композиции на множестве Е.
10) Пусть X и Y—произвольные подмножества множества Е\ положим XTY = X\JY, если XT\Y = 0, и XTY = E, если X П У Ф 0¦ Показать, что определенный так закон композиция на (E) ассоциативен и коммутативен.
И) Пусть T —-ассоциативный закон на E и А сЕ, Be Е— устойчивые относительно него множества. Показать, что если ВТ ACZ AT В, то A T В устойчиво относительно Т.
°12) Единственными различными натуральными числами Ф О, перестановочными относительно закона (х, у) — хУ, являются - и 4.0
13) Показать, что относительно закона композиции Xo Y подмножеств произведения EXE центром служит множество {0} L { А} (где Л — диагональ EX E)•
14) Показать, что относительно закона композиции fag отображений E в E центр сводится к тождественному отобра жению.
15) Закон, заданный на множестве Е, называют идемпотентпым, если все элементы из E идемпотентны (п° 4) относительно этого закона, т. е. если хТх=х для каждого х?Е. Показать, что если закон T на E ассоциативен, коммутативен и идемпотентен, то отношение хТу = у есть отношенпе порядка в Е\ записывая его x <iy. показать, что любые два элемента х, у из E обладают верхней гранью (относительно этого отношения порядка), равной xTy-Обращение.
16) Пусть E — моноид (п° 3) и X — устойчивое множество, порожденное непустым множеством А Е. Показать, что если каждому слову м = (аг)0<;<п свободного моноида L(X), порождаемого множеством X, отнести КОМПОЗИЦИЮ / (и) последовательности (Oj) в Е, то определенное так отображение / будет представлением (п° 1) L (X) на А.
I НЕЙТРАЛЬНЫЙ, РЕГУЛЯРНЫЕ, СИММЕТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 35
§ 2. Нейтральный элемент; регулярные элементы: симметричные элементы
1. Нейтральный элемент
Определение '1. Пусть T — закон композиции элементов множества Е. е? E называется нейтральным элементом относительно Т, если еТх и хTe определены и равны х для каждого х?Е.
Заданный закон T обладает не более чем одним нейтральным элементом, ибо если е и е' — нейтральные элементы, то е=е Tе'=е'. Нейтральный элемент, если он существует, перестановочен с каждым элементом и, значит, является центральным.
Примеры. I) В множестве всех подмножеств множества E
0 есть нейтральный элемент относительно закона L > а ?—относительно закона П- Более общим образом, наименьший элемент решетки, если он существует, является нейтральным элементом относительно закона sup (х, у); обратно, нейтральный элемент относительно этого закона, если он существует, является наименьшим элементом решетки.
Аналогично для наибольшего элемента и закона inf (х, у).
2) Число О является нейтральпым элементом относительно сложения натуральных чисел, а 1 — относительно их умножения. Заков (х, у) хУ не обладает нейтральным элементом.
3) Нейтральным элемептом относительно закона композиции XoY подмножеств произведения EXE служит диагональ А. Нейтральным элементом относительно закона композиции / о g отображений E в E является тождественное отображение E на Е.
4) Если е — нейтральный элемент относительно закона композиции T элементов множества Е, то {е} — нейтральный элемент относительно закона композиции (X, У) - XTY подмножеств множества Е.
5) В свободном моноиде L(A) (§1, п° 3) пустое слово является нейтральным элементом.
Если существует нейтральный элемент е относительно закона T на множестве E и если F — подмножество множества Е, содержащее е, то е является нейтральным элементом относительно іакона, который T индуцирует на F. Ho может случиться, что 1ШДУЦированный на F закон обладает нейтральным элементом е', когда F не содержит е или даже когда относительно закона T •<а E не существует нейтрального элемента.
3*
Зо
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
ГЛ. I, § 2
Например, если T —ассоциативный закои на E и h ? E-идемпотент относительно T (§ 1, п° 4), то h — нейтральный элемент относительно закона, индуцированного законом T иа устойчивом множестве, образованном элементами AT a; T h, где х пробегает Е\ при этом h может и не быть нейтральным элементом относительно T в Е. В частности, когда T — закон sup (х, у) на решетке E, в качестве h можно взять любой элемент из Е.
Пусть E и F — множества, каждое из которых наделено внутренним законом композиции, обозначаемым Т; если / — представление EbFw. закон T на E обладает нейтральным элементом е, то/(е) является нейтральным элементом относительно закона, индуцированного на f(E) законом, заданным на F.
Определение 2. Пусть на множестве E задан ассоциативный ¦закон, обладающий нейтральным элементом. Композицией пустого семейства элементов из E называется нейтральный элемент е.
Таким образом, если 0 — пустое подмножество множества индексов, то мы будем, в условиях определения 2, писать T яа=е;
О
точно так же, каково бы ни было х, будем считать Tх—е. При этих определениях теоремы 1 и 4 § 1 остаются справедливыми и без предположения непустоты множеств А и B1. Точно так же фор-
m-S-n т п тп т п
мулы T X = (Т*)Т(Т х) и T ^ = T (T #) сохраняют тогда силу для 7П>0, 71 > 0.
