Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
6) Пусть E —решетка (Теор. mii. Рез., § 6, п° 8) и sup (х, у) означает верхнюю грань множества { х,у}. Отображение (х, у) —sup (х, у) есть всюду определенный закон композиции элементов множества Е. Аналогично для нижней грани inf (х,у). Приведенный выше пример 1 подпадает под это, если считать множество ф (E) всех подмножеств множества E упорядоченным по включению.
Пусть (х, у) —з- хТ У—закон композиции элементов множества E, определенный на некотором подмножестве А произведения E X Е. Каковы бы ни были X CZ Е, Y CZ Е, будем обозначать через ZTi7 (если только это не может повлечь путаницы *)) множество всех
*) Вот пример, в котором этот принцип обозначения мог бы повлечь путаницу и потому не должен применяться. Пусть речь идет о законе ком-
I
ВНУТРЕННИЕ ЗАКОНЫ КОМПОЗИЦИИ
19
элементов хТу?Е таких, что х?Х, г/б У и (х, у)?А (иными словами — образ следа Z X Y на А при отображении (х, у) ^xJ у).
Таким образом, отображение (X, Y) —> X T Y является всюду определенным законом композиции подмножеств множества E (если (;X, У)$А, TO {*} T {у) = 0).
Пусть (х, у)—>хТу — всюду определенный закон композиции элементов множества Е\ отображение (х, у) —>уТх также есть всюду определенный закон композиции; он называется противоположным предыдущему. Если закон (х, у) —» хТУ определен на некотором подмножестве А произведения E х Е, то, поскольку отноше-
-1
ние (у-, х)?А эквивалентно отношению (х, у) ? А (Теор. мн., Реэ.»,
-і
§ 3, п° 4), (х, у)~^уJx есть отображение А в Е\ оно по-прежнему называется законом композиции, противоположным предыдущему. Иными словами:
Определение 2. Два закона композиции элементов множества E (всюду определенные или нет) называются противоположными, если каждый из них является композицией канонической симметрии произведения ExEu другого закона. Если один из них всюду определен, то всюду определен и другой.
Согласно нашим общим определениям (Теор. мн., Рез., § 8, п° 2), задание закона композиции элементов множества E определяет в этом множестве структуру; это ¦— специальный род алгебраической структуры (общее определение которой будет дано в § 4 этой главы). Мы будем называть ее структурой, определяемой в E рассматриваемым законом композиции.
Пусть E и E'— множества, наделенные каждое структурой, определяемой некоторым внутренним законом композиции; будем обозначать оба эти закона композиции знаком T- Пусть А —
позиции A IJ В подмножеств множества E; он порождает закон композипив (?, S3) -> F (?, S3) подмножеств множества sJg (E), где F (SI, S3) означает множество всех A (J В, в которых А ? SI, В ? S3; но F (21, І;) нельзя было бы обозначать a (J 8, поскольку этому обозначению уже приписан другой смысл (а именно объединения SI и S3, рассматриваемых как подмножества множества $ (E)).
9*
20
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
ГЛ. I, § 1
та часть ExE и А'— та часть E' х Ef, где соответственно определены эти два закона. Согласно общим определениям (Теор. мн., Рез., § 8, п°5), изоморфизмом E на E1 называется взаимно однозначное отображение / E на E', распространение которого на ExE отображает Л на Л' и для которого
fixTy) = f(x)Tf(y) (1)
всякий раз,когдахТ определено (т. е. для каждойпары (х, у) 6 А). Если существует изоморфизм E на E', то говорят, что E и E' изоморфны (или что имеется изоморфизм их структур).
Более общим образом, говорят, что отображение / E в Ef есть представление EeE', если всякий раз, когда определена композиция xjy, композиция / (ж)T/ (у) также определена и удовлетворяет соотношению (1) (это частный случай понятия, определяемого в § 4 для произвольной алгебраической структуры).
Если закон T на ? всюду определен, то ясно, что изоморфизм E на К' есть не что иное, как взаимно однозначное представление E на E'. Ho это предложение уже неверно, если закон T не всюду определен на Е, ибо тогда может случиться, что / (х) J f(y), где / — взаимно однозначное -представление E на E', определено, а х J у — нет.
2. Композиция серии элементов
Напомним (Теор. мн., Рез., § 2, л°14), что семейство элементов множества E определяется заданием множества индексов / и его отображения і—> X1 в Е; семейство (Xl)ie/ называется конечным, если множество индексов конечно.
Множество индексов I семейства может иногда наделяться структурой (Теор. мн., Рез., § 8); если I ж К — множества индексов, наделенные структурами одинакового рода, то говорят, что семейства (X1)1 е / и (ук)к с к элементов одного и того же множества E подобны (относительно структур, заданных в 1 и К), если существует изоморфизму I на К такой, что Xl=Jztp(1) для каждого 16 1.
Удобно дать особое наименование семействам, множества индексов которых наделены специальной структурой, особенно когда на множестве индексов одного и того же семейства (X1)16 / рассматриваются различные структуры. Это как раз имеет место в алгебре, где нам придется рассматривать в особенности случай
S
ВНУТРЕННИЕ ЗАКОНЫ КОМПОЗИЦИИ
21
конечного семейства (X1)16/, множество I индексов которого наделено структурой совершенно упорядоченного множества; мы будем говорить, что задание семейства (X1)16/ и структуры совершенно упорядоченного множества в / определяет серию элементов множество Е; эта серия обозначается по-прежнему (Orl)iej, но это обозначение определяет серию лишь при дополнительном указании структуры совершенно упорядоченного множества в I.
