Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Определения и аксиомы главы II......................Вклейка 3
Определения и аксиомы главы III.....................Вклейка 4
ВВЕДЕНИЕ
Заниматься алгеброй — значит, по существу, вычислять, т. е. выполнять над элементами некоторого множества «алгебраические операции», наиболее известный пример которых доставляют «четыре действия» элементарной арифметики.
Здесь не место описывать медленный, но неуклонный процесс абстракции, посредством которой понятие алгебраической операции, первоначально ограниченное натуральными числами и измеряемыми величинами, постепенно расширялось параллельно расширению понятия «числа», покуда не переросло это последнее и не стало применяться к элементам совершенно пе «числового» характера, как, например, перестановки множества (см. Исторический очерк к гл. I). Несомненно, именно возможность этих последовательных расширений, при которых форма вычислений оставалась одной и той же, но природа математических объектов, над которыми производились вычисления, существенно менялась, позволила постепенно выявить руководящий принцип современной математики: математические объекты сами по себе не столь существенны — важны их отношения (см. Книгу I). Во всяком случае можно определенно утверждать, что алгебра достигла этого уровня абстракции значительно раньше других областей математики, и уже давно стало привычным рассматривать ее как пауку об алгебраических операциях, независимую от математических объектов, к которым эти операции могут применяться.
Общепринятое представление, связываемое с обычными алгебр аическими операциями, если отвлечься от пх конкретного характера, весьма просто: выполнить алгебраическую операцию над двумя элементами а, b одного и того же множества E — значит сопоставить паре (а, Ь) вполне определенный третий элемент с множества Е. Иначе говоря, в этом понятии нет ничего, кроме
14
ВВЕДЕНИЕ
понятия функции-, задать алгебраическую операцию — значит задать функцию, определенную на ExE и принимающую значения из Е; единственная особенность сводится к тому, что областью определения функции служит произведение двух множеств, идентичных с множеством, из которого берутся значения функции; именно такую функцию мы называем внутренним законом композиции.
Наряду с этими «внутренними» законами были введены в рассмотрение (главным образом под влиянием геометрии) «законы композиции» другого типа, а именно «внешние» законы, в которых кроме множества E (остающегося, так сказать, на,первом плане) участвует еще вспомогательное множество Q, элементы которого именуются операторами: на этот раз закон сопоставляет паре (а, а), образованной оператором ccgQ и элементом а?Е, некоторый элемент b множества Е. Например, в евклидовом пространстве E гомотетия с заданным центром относит вещественному числу к («коэффициенту гомотетии», являющемуся здесь оператором) и точке А пространства E определенную точку А' в Е\ это — внешний закон композиции в Е.
В соответствии с общими определениями (Теор. мн., Рез.*), § 8) задание на множестве E одного или нескольких законов композиции (внутренних или внешних) определяет в E структуру, структуры, определяемые таким способом, мы и называем алгебраическими структурами, изучение их и составляет предмет алгебры.
Имеются многочисленные роды (Теор. мн., Рез., § 8) алгебраических структур, характеризуемые, с одной стороны, определяющими их законами композиции, а с другой — аксиомами, которым эти законы подчинены. Разумеется, эти аксиомы не могут выбираться произвольно; они представляют собой не что иное, как свойства, принадлежащие большинству законов композиции, встречающихся в приложениях, таких, как ассоциативность, коммутативность и т. д. Глава 1 посвящена главным образом изложению этих аксиом и вытекающих из них общих следствий; при этом проведено более подробное исследование двух наиболее
*) «Теор. мн., Рез.» — ссылка на сводку результатов Книги 1 «Теория множеств», перевод которой помещен в виде приложения в книге «Общая топология. Основные структуры» (Физматгиз, М., 1958).
ВВЕДЕНИЕ
15
важных родов алгебраических структур, а именно групповых (где участвует лишь один внутренний закон композиции) и кольцевых (с двумя внутренними законами композиции), частным случаем которых является структура тела.
В главе I определены также группы с операторами и кольца с операторами, где, наряду с внутренними законами композиции, участвуют один или несколько внешних законов. Наиболее важными группами с операторами являются модули, к которым относятся, в частности, векторные пространства, играющие определяющую роль как в классической геометрии, так и в современном анализе. Изучение модульных структур ведет начало от исследования линейных уравнений, откуда и его название — линейная алгебра-, относящиеся к ней общие результаты будут содержаться в главе II.
Точно так же наиболее часто встречающиеся кольца с операторами — это так называемые алгебры (или гиперкомплексные системы). В главах III и IV будет проведено подробное исследование двух специальных алгебр: внешней алгебры, являющейся, вместе с содержащейся в ней теорией определителей, ценным вспомогательным средством линейной алгебры, и кольца полиномов, лежащего в основе теории алгебраических уравнений.
