Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
тп+п т п
T X = (Tx)T(Tx), (4)
а при Ai1=W2= . . . = пр=т— формулу
рт р т
Tx=T(Tx). (5)
Если XdE, то, в соответствии с введенными обозначениями,
р
TX означает множество X1TX2T- -TXv, где Z1 = Z2=... ...=Xp=X; таким образом, это есть множество всевозможных композиций X1Toc2T ¦¦ ¦ T хр, где X1 б X, X2'-X, . . ., хр g Z.
Важно не смешивать это множество с множеством композици й
* р
T х, где х пробегает X.
со I I P
Положим TA-=U(TZ); это — множество композиций все-
Р>0
возможных конечных последовательностей, члены которых при-
CXD
надлежат X; в случае ассоциативного закона имеем ZT(TZ) =
OO CO
= (TX)TXC=TZ.
4. Устойчивые множества. Индуцированные законы
v Определение 5. Подмножество А множества E называется устойчивым относительно закона композиции элементов множества Е, если композиция двух элементов из А всякий раз, когда •она определена, принадлежит А.
Иными словами, для того чтобы А было устойчиво относительно закона Т. необходимо и достаточно, чтобы AT Ad А.
Пересечение семейства устойчивых подмножеств множества E ¦очевидно устойчиво; поэтому, в частности, существует наименьшее устойчивое подмножество Z множества Е, содержащее задан-
-t
ВНУТРЕННИЕ ЗАКОНЫ КОМПОЗИЦИИ
27
ное множество XdE (Теор. мн., Рез., § 6, п° 5); его называют устойчивым множеством, порожденным множеством X. Индукцией по п легко убедиться в том, что композиция всякой тг-член-ной серии, элементы которой принадлежат X, принадлежит Z;
OO
иными словами, всегда T X CZ Z. При этом имеет место
Теорема 2. Для ассоциативного закона T на E устойчивое
CO
множество, порожденное множеством Xd Е, совпадает с T-X.
CO
Достаточно убедиться в том, что T X при ассоциативности
CO
,чакона T устойчиво', но любые два элемента и и v из T X имеют вид U^X0TX1T ... Jxr^1, v=xnTxn+1T ¦ ¦ ¦ Тхп+Р, где Xi^X (0< і< и+р); следовательно (теорема 1), и Tv-X0Tx1T--
OO
. . TXntp принадлежит T X.
Примеры. I) В множестве N натуральных чисел устойчивым относительно сложения множеством, порожденным множеством, состоящим из одного числа 1, является множество всех натуральных чисел >-1; относительно умножения множество {1}само устойчиво.
2) Пусть T — всюду определенный закон композиции элементов множества Е; для того чтобы множество {h}, состоящее из одного элемента, было устойчивым относительно закона T, необходимо и достаточно, чтобы hT h=h\ тогда h называют идемпотентом. Например, всякий элемент решетки идемпотентен относительно каждого из законов Pup (х, у) и inf (х, у).
3) Если T — ассоциативный закон на множестве Е, то устойчивое относительно него множество, порожденное множеством {а}, состоящим из одного элемента, есть множество, образованное элемен-
П
тами T а, где и пробегает все натуральные числа > 0.
4) Из определений примера 2 п° 3 явствует, что каждая непустая
конечная последовательность (Xj)i^1 элементов из А представляет собой результат последовательного приписывания одночленных последовательностей где E пробегает /; таким образом, свобод-
ный моноид L (А) порождается пустым словом и множеством всех слов длины 1, которое обычно отождествляют с А.
Если T —всюду определенный закон композиции на й и F — подмножество множества Е, устойчивое относительно этого закона, то сужение функции XTУ на F/F является всюду определенным
28
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
ГЛ. I. § •
законом композиции на F; его называют законом, индуцированным. на F законом T • Более общим образом:
Определение 6. Пусть T —закон композиции элементов множества Е, определенный на некоторой части А произведения ЕхЕ\ законом, индуцированным законом T на множестве FciE, называется закон композиции элементов множества F, определенный на множестве тех (х, y)?FxF, для которых (х, у)?А и xJy^F. и относящий каждой такой паре (х, у) композицию хТУ- Структуру, определяемую в Fэтим законом, мы будем называть структурой, индуцированной вF структурой, определяемой законом TвЕ.
Закон, индуцированный на F законом Т, мы будем (допуская вольность) обозначать тем же знаком T, если это не сможет внести путаницу.
На множестве, устойчивом относительно ассоциативного закона Т> индуцированный им закон ассоциативен.
5. Перестановочные элементы. Коммутативные законы
J Определение 7. Пусть T — закон композиции элементов множества Е. Элементы х, у из E называются перестановочными относительно закона T, если хTу и уTх определены и хТУ=УТх.
v Определение 8. Закон композиции T элементов множества E называется коммутативным, если для любой пары (х, у) элементов из Е, для которой х~[ у определено, х и у перестановочны.
Коммутативный закон совпадает с противоположным ему законом.
Примеры. 1) Сложение и умножение натуральных чисел — коммутативные законы.
2) Законы sup (х, у) и inf (х, у) в решетке коммутативны; в частности, коммутативны законы композиции (JhH подмножеств множества Е.
3) Закон композиции (X, У)—^-XoY подмножеств произведении EXE не коммутативен (если E содержит более одного элемента): действительно, если А —{(а, 6)}, В={(Ъ,с)} и афс, то В°А = {(а,с)\г a AoB = 0. Ho диагональ Д произведения EXE перестановочна с каждым его подмножеством. Точно так же закон композиции /о# отображений E в E не коммутативен (если E содержит более одного
