Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Заданному конечному семейству (ха)аел элементов множества E отвечает столько серий, сколько в А имеется структур совершенно упорядоченного множества (т. е. р\, если А —множество, состоящее из р элементов); все зти серии должны рассматриваться как различные. В частности, всякой конечной последовательности (хі)і є н> где H— конечное подмножество множества N натуральных чисел, соответствует специальная серия, получающаяся, если ввести в H структуру, определяемую отношением порядка т<и между натуральными числами (Теор. мн., Рез., § 6, п°2). рассматривая последовательность как серию без указания отношения порядка в Н, мы всегда будем подразумевать, что H наделено этим специальным отношением порядка. При этом условии можно сказать, что любая серия (ха)аед подобна (в определенном выше смысле) конечной последовательности, ибо существует взаимно однозначное возрастающее отображение совершенно упорядоченного множества А на некоторый интервал [0, и] множества N.
Пусть теперь E — множество, наделенное всюду определенным внутренним законом композиции T •
Определение 3. Пусть (ха)аел—серия элементов из Е. Для каждого непустого множества В CZ А (совершенно упорядоченного индуцированным отношением порядка) композицией серии (ха)а е ц (относительно закона у) называется элемент из E, обозначаемый T ха, определяемый индукцией по числу элементов множе-
а ЄВ
ства В следующим образом:
I0 если 5={Р}, то T Xa=Xp-, а є в
2° если В состоит из р > 1 элементов, р — его наименьший элемент и В' —множество всех элементов > р из В, то ~Г х-х —
22
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
ГЛ. I, § t
Легко убедиться (индукцией по числу элементов множеств индексов) в том, что композиции двух подобных серий равны, в частности, композиция произвольной серии равна композиции некоторой конечной последовательности (что позволяет при желании ограничиться этими последними). Когда А состоит из двух элементов, А = {А, ц} (А, < [х), композиция T заесть не что иное, как х% T Xfl-
ос ? А
Композиция серии (ха)а ЄА относительно закона, обозначаемого J., записывается в виде JL ха; для аддитивно обозначае-
ос ? А
мого закона принято записывать эту композицию в виде 2 х<*
ос ? А
и называть суммой серии (Zcc)ct е а (а ха называть членами этой суммы); для закона, обозначаемого мультипликативно, указанную композицию записывают чаще всего в виде ха и называют
ос ? А
произведением серии (ха)а g л (а ха называют сомножителями произведения) *).
Если нет опасности недоразумений по поводу множества индексов (а также его структуры порядка), то при обозначении композиции серии это множество часто опускают, т. е., скажем, при аддитивном обозначении закона вместо ^ ха пишут J ха или даже У ха.
а ? А ос
аналогично при других обозначениях.
При законе, обозначаемом T > композиция последовательности (Xi), имеющей множеством своих индексов интервал [р, q\
Q
множества N, обозначается T Xi , или T Xi , или также
i=P
ХРТ. T xq; аналогично для законов, обозначаемых другими символами.
Замечания. 1) При не всюду определенном внутреннем законе T можно по-прежнему вводить понятие композиции серии, как в определении 3, но это определение будет иметь смысл лишь для серий, удовлетворяющих некоторым условиям.
*) Однако в случае, когда ха—множества, употребления этого термина
и обозначения Jj ха следует избегать, чтобы не получилось смешения а ? А
с аналогичными термином и обозначением из теории множеств.
з
ВНУТРЕННИЕ ЗАКОНЫ КОМПОЗИЦИИ
23
2) Заметим, что в определении композиции серии имеется некоторый произвол; введенная нами индукция действует «справа налево»: КОМПОЗИЦИЯ последовательности (Xi) 1 <;<п явно заданных п элементов
есть не что иное, как X1T (х2Т (х3Т (...T (xn_tT хп)...))) (п—2 пар скобок). Было бы также вполне законно определять композицию, действуя «слева направо» или любым другим способом (произвольно группируя скобки); но, как мы увидим, этот произвол исчезает в случае наиболее важных на практике ассоциативных законов.
3. Ассоциативные законы
Определение 4. Всюду определенный закон композиции (х, у)—*хТу элементов множества E называется ассоциативным, если, каковы бы ни были элементы х, у, z из E,
(Xjy)T Z = XT (у Tz): (2)-
Множество, наделенное структурой, определяемой ассоциативным всюду определенным законом, будет называться моноидом.
Очевидно, закон, противоположный ассоциативному, ассоциативен.
Закон хТу, не являющийся всюду определенным, называют иногда ассоциативным, если ассоциативен порождаемый им (n° 1) закон композиции XT Y подмножеств множества Е, который уже всюду определен; иногда же не всюду определенный закон называют ассоциативным, если соотношение (2) выполнено всякий раз, когда обе его части определены (впрочем, это второе условие является следствием первого). Часть нижеследующих результатов распространяется, с надлежащими видоизменениями, иа ие всюду определенные ассоциативные (в одном из указанных двух смыслов) законы.
Примеры. 1) Среди примеров законов композиции, указанных в n° 1, ассоциативны следующие: X П Y и X (J Y (пример 1); х + у и ху (пример 2); XoYufog (пример 4), sup (х, у) и inf (х, у) (пример 6). Если хТу — ассоциативный закон композиции элементов множества
