Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бурбаки Н. -> "Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра " -> 6

Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.

Бурбаки Н. Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра — М.: Физ-мат литературы, 1962. — 515 c.
Скачать (прямая ссылка): algebraicheskiestrukturi1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 201 >> Следующая


В главе V изложена общая теория полей и их классификации. Отправным пунктом этой теории является исследование алгебраических уравнений с одним неизвестным; приведшие к этому вопросы в настоящее время представляют лишь исторический интерес, но сама теория полей продолжает играть фундаментальную роль в алгебре, составляя основу теории алгебраических чисел, с одной стороны, и алгебраической геометрии — с другой.

Поскольку множество натуральных чисел наделено двумя внутренними законами композиции — сложением и умножением,— классическая арифметика (или теория чисел), имеющая своим предметом изучение натуральных чисел, охватывается алгеброй. Однако на почве алгебраической структуры определяемой этими двумя законами, здесь возникает структура, определяемая отношением порядка «а делит b»; сущность же классической арифметики как раз и состоит в изучении связей между этими двумя выступающими вместе структурами. И это не единственный пример, когда структура порядка ассоциируется так с некоторой
ВВЕДЕНИЕ

алгебраической структурой посредством отношения «делимости»: последнее отношение играет отнюдь не менее важную роль в кольцах полиномов. Поэтому оно подвергнуто общему рассмотрению в главе VI; результаты этого рассмотрения применяются в главе VII к установлению модульных структур в некоторых особенно простых кольцах и, в частности, к теории «элементарных делителей».

Глава VIII закладывает начала некоммутативной алгебры; особое внимание в ней уделено исследованию некоторых типов модулей и колец, играющих фундаментальную роль во всех вопросах, относящихся к линейному представлению групп. Наконец, глава IX посвящена элементарной теории квадратичных форм, эрмитовых форм и связанных с ними линейных групп — понятий, встречающихся почти во всех областях современной математики.
ГЛАВА I АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ

? I. Внутренние законы композиции; ассоциативность; коммутативность

/. Внутренние законы композиции

Определение 1. Внутренним законом композиции элементов множества E называется отображение / некоторого подмножества А произведения ExE в Е. Значение f(x, у) отображения / при (х, у) ? А называется композицией х и у относительно этого закона.

Допуская вольность речи, говорят, что такой закон задан (или определен) на Е. Наиболее важны внутренние законы композиции, определенные для всех пар {х,у)^ЕхЕ\ допуская вольность речи, говорят, что такой закон определен всюду на Е. Нас будут интересовать главным образом всюду определенные законы.

Для записи композиции хну чаще всего выписывают хну в определенном порядке, отделяя их характеристическим знаком рассматриваемого закона (а иногда уславливаясь этот знак опускать). Из наиболее часто употребляемых знаков укажем уже теперь + и • и согласимся последний знак при желании опускать; посредством этих знаков композиция х и у записывается соответственно в виде х-\-у и х-у или ху. Закон, обозначаемый знаком -f- , чаще всего называют сложением (называя тогда композицию х-\-у суммой х и у) и говорят, что для него принято аддитивное обозначение', закон, обозначаемый знаком •, чаще всего называют умножением (называя тогда композицию х • у = ху произведением х и у) и говорят, что для него принято мультипликативное обозначение. В общих рассмотрениях §§ 1—5 этой

Н. Бурбаки
18

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ

ГЛ. I, § 1

главы мы будем обычно для обозначения произвольных законов композиции пользоваться символами T и X •

В алгебре необходимо уметь переводить каждое предложение, относящееся к какому-либо закону композиции, непосредственно с одних обозначений на другие. В целях облегчения задачи читателя в этом отношении в конце книги (вклейка 2) помещен словарик терминов и символов, относящихся к основным понятиям, связанным с законами композиции, в переводе на наиболее употребительные обозначения (а именно на аддитивные и мультипликативные).

П р и м е р ы. 1) Отображения (X, У) —> X у У и (X, У) —X Г| У являются (всюду определенными) внутренними законами композиции подмножеств множества Е.

2) В множестве N натуральных чисел сложение, умножение

и возведение в степень являются всюду определенными законами композиции (композиции у ? N при этих законах обозна-

чают соответственно Х-\-у. ху ИЛИ X-у и Xу] CM. Теор. мн., гл. III).

3) В множестве N натуральных чисел вычитание х — у есть внутренний закон композиции, определенный лишь для тех пар (х, у),

в которых X > у; точно так же деление Х~ определено лишь для тех

пар (х, у), в которых у Ф 0 и х кратно у.

4) Пусть E — произвольное множество; отображение (X, У) — ->1 » У является законом композиции подмножеств произведения EXE (Теор. мн., Рез., § 3, п° 10); отображение (/, g)-?-f°g есть закон композиции отображений EvE (Теор. мн., Рез., § 2, п° 11).

5) В множестве всевозможных отображений подмножеств множества EvE (Теор. мн., Рез., § 3, и0 5) отображение (/, g) f ° g есть внутренний закон композиции, определенный лишь для тех пар (/, g), которые, если обозначить через А и В те подмножества множества E, где определены соответственно / Hg, удовлетворяют условию g (В) С А.
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 201 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed