Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
ВНУТРЕННИЕ ЗАКОНЫ КОМПОЗИЦИИ
29
элемента), в чем можно убедиться, беря в качестве /Hg различные постоянные отображения; но тождественное отображение перестановочно со всяким.
4) Если хТу — коммутативный закон композиции элементов множества Е, то XTY— коммутативный закон композиции подмножеств множества Е.
Предложение 1. Если элемент х перестановочен с каждым аз элементов у и z относительно ассоциативного закона Т. то он перестановочен и с у Tz.
Действительно, X T (у Tz) записывается последовательно в виде
T(у T z) = (x T у) T z=(y T х)Т z—yT (хТ z) = уТ (zT х)=(у T z)T х.
Предложение 2. Если при ассоциативном законе T каждый элемент множества X CZ E перестановочен с каждым элементом множества Y CZ E, то каждый элемент устойчивого множества, порожденного множеством X, перестановочен с каждым элементом устойчивого множества, порожденного множеством Y.
Действительно, из предложения 1 индукцией по п получается, что если X перестановочен с каждым членом л-членной последовательности, то X перестановочен и с ее композицией; поэтому {теорема 2) каждое х ?Х перестановочно с каждым элементом устойчивого множества Y', порожденного множеством Y; но отсюда таким же путем вытекает, что каждый элемент из Y' перестановочен с каждым элементом устойчивого множества X', порожденного множеством X.
Отметим два частных случая предложения 2: когда X = {х}, Y-{у} и когда X-Y:
Следствие 1. Если х и у перестановочны относительно ассо-
m ті
циативного закона T і то это верно и для Txu ТУ, каковы бы
771 Tl
ни были целые т>0 и гс>0; в частности, Tx и Tx перестановочны,каковы бы ни были х и целые та>0, гс>0.
Следствие 2. Если элементы множества X попарно перестановочны относительно ассоциативного закона X, то закон, индуцированный им на устойчивом множестве, порожденном множеством X, ассоциативен и коммутативен.
зо
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
ГЛ. I, I 1
Определение 9. Центральным элементом множества E относительно некоторого закона композиции элементов этого множества называется каждый элемент, перестановочный со всеми элементами из Е. Центром множества E называется множество всех его центральных элементов.
Из предложения 1 вытекает, что центр множества E относительно ассоциативного закона является устойчивым множеством; закон композиции, индуцированный на центре, очевидно коммутативен.
Основное свойство законов, одновременно ассоциативных и коммутативных, заключается в том, что композиции всех последовательностей, отличающихся от заданной конечной последовательности лишь порядком следования членов, имеют одно и то же значение; докажем это.
Теорема 3 (теорема коммутативности). Пусть T — коммутативный ассоциативный закон композиции на E и (Xa)a^A — непустое конечное семейство элементов из E; каким бы образом ни было совершенно упорядочено множество А, композиция \ ха имеет одно
а ?А
и то же значение.
Если А состоит из одного элемента (5, то теорема справедлива; композицией служит тогда х$. Докажем индукцией по р справедливость теоремы для каждого множества А из р элементов: для этого достаточно показать, что она верна для множества индексов,-состоящего из р элементов, если она верна для каждого его подмножества, имеющего менее р элементов. Итак, пусть А — множество, состоящее из р элементов, и і—^oci-взаимно однозначное отображение интервала [0, р — 1] CZN на А; перенеся посредством этого отображения порядок интервала [0, р — 1] в А, МЫ совершенно упорядочим А, причем композицией серии (ха)а?А, определяемой этим отношением порядка, будет не что иное,
P-I
как T Xa..
і=0 1
Пусть теперь А совершенно упорядочено иным способом и OCft-наименьший элемент в А при этом упорядочении, а А'— множество всех остальных элементов из А (совершенно упорядоченное индуцированным порядком). Предположим сначала, что 0</г< <р—1, и положим В={а0, OC1, . . . , С={аЫ1, . ... , оср_,};.
ВНУТРЕННИЕ ЗАКОНЫ КОМПОЗИЦИИ
31
так как теорема, по предположению, справедлива для А', то. Применяя теорему ассоциативности (поскольку A' = B(JC), имеем
h—i р—1
T Xa =( T Xa л T ( T XaiI а?А' V i=o 1) 1 ^ i=h+l /.
откуда, образуя композицию хас обеими частями и повторно
применяя коммутативность и ассоциативность у, получаем
h-l р—1
T ха = ха у f I ха \ ха^ T f I ха Л T ( I ха Л =
«?А h WA' I U=O V I i=h+l 1J
h-l P-I р-1
= Tf T ^il=T
4 i=0 ' I 1=/1+1 J і= 0
таким образом, теорема в рассматриваемом случае доказана. Если h=0 или h=p—1, то получаем тот же результат, но более простым путем, поскольку члены, относящиеся к В или к С, исчезают.
Для коммутативного ассоциативного закона на множестве E композицией конечного семейства (ха)асА элементов из E будет» по определению, называться общее значение композиций серий, получаемых при всевозможных способах превращения А в совершенно упорядоченное множество. Эта композиция для закона, обозначаемого T, будет по-прежнему обозначаться T ха; аналогично
ос Є А
при других обозначениях.
Комбинируя теоремы 1 и 3, получаем:
