Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 4. Пусть T — коммутативный ассоциативный закон на E и (ха)а?А — непустое конечное семейство элементов из Е. Если А — объединение своих попарно не пересекающихся непустых подмножеств B1, B2, . . . , Bp, то
р
T ха= T ( T ха\ (6)
а ? А 1=1 1 J.
Действительно, это вытекает из теоремы 3, если совершенно упо рядочить А так, чтобы Bi удовлетворяли условиям теоремы 1
Отметим два важных частных случая этой теоремы. Во-первых, если (xap)(af р)?Ахв — конечное семейство, множеством^ индексов
32
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
ГЛ. I. § I
которого служит произведение двух непустых конечных множеств А, В («двойное семейство»), то
T осар= T (~Т = TfT (7)
(а. (5)?АхВ а?Д \3?В I Р?В\ а?А }
действительно, это вытекает из теоремы 4, если рассматривать .4x5, с одной стороны, как объединение множеств {а} X В, ¦а с другой стороны, как объединение множеств А X W-
В частности, если В состоит из п элементов и все X0Q с одним « тем же а Є А имеют одно и то же значение ха, то
Основываясь на формуле (7), композицию двойной последовательности (Xij), имеющей множеством своих индексов произведение интервалов [р, 9] и (г, s] из N, относительно аддитивно обозначаемого коммутативного ассоциативного закона часто обозначают
QS я q
2 2 или 2 2 х*)' i—p j=r j=r і=P
а аналогично для законов, обозначаемых иначе.
Во-вторых, пусть А—множество всех пар целых чисел (г, j) таких, что 0и г</; пусть, далее, композиция
семейства (х1;)(г,;)?А (относительно коммутативного ассоциативного закона) обозначается по-прежнему T Xij (или просто
О
T Xii, если это не может повлечь недоразумений); теорема 4 приводит здесь к формулам
T .?= T1 ( T XiA= т (Tzij) (9)
г=0 / j=l I г—0 /•
Существуют формулы, аналогичные (7), для семейства, множеством индексов которого служит произведение более чем двух множеств, и формулы, аналогичные (9), для семейства, множеством индексов которого является множество Sp строго возрастающих последовательностей (ik) i ^inzp P целых чисел, в которых (р<и + 1); в этом последнем случае композиция семейства (Xi і )(і і обозначается T Xi { t
1 V 1 V p 0<it<i2<. . .<ysn «*•••»<
ИЛИ просто T . . . ip-
.5
ВНУТРЕННИЕ ЗАКОНЫ КОМПОЗИЦИИ
33
Отметим, наконец, что, в силу следствия 2 предложения 2, теоремы 3 и 4 применимы также в случае ассоциативного закона и семейств, элементов, попарно перестановочных относительно этого закона.
Упражнения. 1) Пусть T — закон композиции (всюду определенный или нет) на множестве Е. Каковы бы ни были семейства (xJaf=A и (ур)рев подмножеств из Е,
(IUet)T(Ure)= U UaTYl3).
CtfcA PtB р (а, PJtAxB м
2) Пусть T —пе всюду определенный закон композиции на множестве EuE' — подмножество множества ^ (E), состоящее из множеств {а:-, где х пробегает Е, и пустого подмножества 0 множества Е. Показать, что E' — устойчивое множество в (E) относительно закона ХТУ; вывести отсюда, что, обозначив через Ё множество, полученное путем присоединения (Теор. мн., Рез., § 4, а0 5) к E элемента о>, можно продолжить закон T на EX E так, чтобы T совпадал с законом индуцированным на E этим продолженным законом.
3) Пусть T—не всюду определенный закон композиции на Е.
а) Для того чтобы закон композиции ХТУ подмножеств множества E был ассоциативным, необходимо и достаточно, чтобы при любых х, у п z из Е, если определена одна из частей формулы (2), была определена также вторая и равна первой. [При доказательстве достаточности условия использовать упражнение 1.]
б) Предполагая это условие выполненным, показать, что теорема 1 обобщается следующим образом: если определена одна из частей формулы (3), то определена также вторая и равна первой.
4) а) Пусть E — заданное множество, Ф — множество всех отображении в E всевозможных его подмножеств и f,g,h — элементы из Ф. Показать, что если композиция (f°g)°h определена, то определена и композиция f°(g°h), но обратное неверно; если же обе эти композиции определены, то они равны.
б) Пусть ^ — семейство попарно не пересекающихся непустых подмножеств множества E и V — подмножество множества Ф, образованное всевозможными взаимно однозначными отображениями множества из Jv на множество из Показать, что для закона, индуцированного па Mr законом fog, условие упражнения За) выполнено.
°5) Показать, что единственными тройками (т., п, р) натуральных чисел 4= для которых (mn)p = mn", являются: (1, п, р), где пир произвольны; (т., п, 1) и (т, 2, 2), где то и и произвольны.0
6) Пусть T — всюду определенный закон композиции элементов множества E и А — подмножество множества Е, образованное
Н. Бурбаки
4
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
ГЛ. I. I t
элементами х, для которых хТ (у T z)—(xTу) T г, каковы бы пи были у и z из Е. Показать, что <4—устойчивое множество и закон, который T индуцирует на А, ассоциативен.
7) Если T —ассоциативный закон на Е, то, каковы бы ни была элементы я и & из Е, множества {atT?\ ET\Ь], {а}ТЯТ{Ь} и ET {а\Т E устойчивы относительно Т.
8) Пусть T — ассоциативный закон на E и а —элемент из E; для любых X и у из E положим х±у = хТ пТ у. Показать, что закоп J_ ассоциативен.
