Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Е, то XTY есть ассоциативный закон композиции элементов множества 35 (E). С другой стороны, возведение натуральных чисел в степень (пример 2) не ассоциативно; действительно, (21)2^=2^1*\
.2) Свободные моноиды. Пусть А — некоторое множество и E — множество всех конечных последовательностей элементов из А; отношение «s и s' — подобные конечные последовательности» (в смысле п° 2), очевидно, есть отношение эквивалентности в Е; обозначим через L(A) фактормножество E/R, где Ti — указанное
24
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
ГЛ. I. § 1
отношение. Определим на этом множестве внутренний закон композиции следующим образом.
Рассмотрим два элемента s = (Oi)i g 7, s' = (Ь})- из Е, где і < / при любых і ? I, j?J', и пусть K=HjJ и для каждого к ? А' если /с ? /, Cfe= bfe, если k^J\ мы будем говорить, что последовательность s" = ? j,- получена путем приписывания s' к s.
Нетрудно видеть, что если S1 = s (mod R), sj = s' (mod R) и приписывание к S1 определено, то оно дает последовательность sj' = .ч" (mod R); таким образом, класс (mod R) последовательности s' зависит лишь от классов последовательностей si s'; будем по-прежнему говорить, что он получен путем приписывания класса последовательности s' к классу последовательности s; тем самым нами получен закон композиции в L (Л).[Этот закон всюду определен, ибо для любых двух последовательностей s = (Oi)i ? f и s' = (bj)- ? j из E существует последовательность s[ такая, что sj = s' (mod R) и приписывание s~ к s определено (если h — наибольший элемент в I, то достаточно рассмотреть множество индексов К, образованное числами ft + / + 1, где / пробегает/, и положить si= (bft_/i_i)ftgК). Кроме того, легко проверить, что этот закон ассоциативен.
Множество L (А), наделенное этим законом композиции, называется свободным моноидом, порожденным множеством А, а элементы множества L(A) — словами, образованными из элементов множества А. Если е — пустое слово (класс пустой последовательности), то ех=хе=х для каждого слова х. В каждом непустом слове х существует одна и только одна последовательность (e;)l<i<n, множеством индексов, которой служит некоторый интервал [1, л] из N; п называют длиной слова х и х часто отождествляют с последовательностью (аі). За длину пустого слова принимают 0.
Основным свойством ассоциативных законов является следующая теорема, выявляющая всё значение понятия композиции серии, определенного в п°2:
J Теорема 1 (теорема ассоциативности). Пусть А — непустое совершенно упорядоченное конечное множество, являющееся объединением непустых подмножеств Bi (1 < г < р) таких, что отношения Bi, р ? Bj (1 < г < /<р) влекут а < (5; и пусть (ха)а е а — серия элементов из Е, имеющая А своим множеством индексов. Тогда для каждого ассоциативного закона T > заданного на Е, имеет место формула
(3)
ВНУТРЕННИЕ ЗАКОНЫ КОМПОЗИЦИИ
25
Теорема доказывается индукцией по числу п элементов множества А. Если п~ 1, то, поскольку Bi непустые, необходимо P=Ir и теорема очевидна. В противном случае, предполагая теорему справедливой для множеств индексов, имеющих меньше чем п элементов, рассмотрим два случая:
а) B1 состоит из одного элемента р. Пусть С—Вг\}В3[} ... (J^p-
Левая часть формулы (3) есть (по определению) не что иное,
как Xp T ( T ха), а правая часть (по определению) — не что-а є С
иное, как хр T ( T ( T ха)); равенство вытекает из предположен-
2^i^p а?В{
яой справедливости теоремы для С и B2, B3, . . . , Bp.
б) В противном случае пусть P — наименьший элемент в А (а значит, и в B1)', пусть А' — множество всех элементов > P-в А, и пусть В[ — A'I^B1, так как А' состоит из и—1 элемента, а условия теоремы выполнены для А' и его подмножеств В[, B2,. . . .... Bp, то, согласно предположению,
T*a=(T Za)T(T (Txa)).
“?А' a?B'i 2 а?Ві
Образуем композицию хр с каждой из частей этого равенства; слева мы будем иметь, по определению, T ха, справа же (при-
а?А
меняя определение ассоциативного закона) получим
а это (по определению 4) есть не что иное, как правая часть формулы (3).
В теореме 1 содержится как частный случай формула OO0 T X1 T • * - T хп = (Xq T X1 Т-.-Т хп-1) T хп, позволяющая определять композицию конечной последовательности индукцией, действующей «слева направо» (вместо данного-выше определения, действовавшего «справа налево»); таким образом, для ассоциативного закона эти два определения эквивалентны. Если все члены серии, состоящей из п членов, равны одному
П
и тому же элементу х?Е, то их композиция обозначается T г
Tl
при законе, обозначаемом Т> Lx при законе, обозначаемом _L, хп при законе, обозначаемом мультипликативно, и чаще всего п.г
26 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 1
при законе, обозначаемом аддитивно (за исключением некоторых случаев, где это последнее обозначение могло бы повлечь
путаницу; см. § 3, n° 1). Теорема ассоциативности в применении
к серии, состоящей из одинаковых членов, дает формулу
ni+n2+---+np ni па пр
T * = (Тж)Т(Т*)Т--.T(Ta),
я значит, в частности, при р — 2—формулу
