Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть х — элемент, симметричный х; если хТУ~хTz, то х T {х~Ту)—хг T (хТz) или (по ассоциативности) еТУ=еТ z, т. е. y — z. Точно так же, если уTx=ZT х, то (уTх)Т xr ~(zTx)Tx', откуда у—-z. Таким образом, х регулярен. Если х" — элемент, симметричный х, то хТх' = хТх" = е, а тогда Xr = Xr: элемент, симметричный ж, единственен. Наконец, ух есть отображение# на Е; иными словами, каково бы пи было у ?Е, существует z такое, что Y1 (z)~y\ в самом деле, для z—x' TУ имеем ух (г) = хТ (х' Tу) — -----еTу—у, и аналогично для Ьх.
Предложение 3 допускает следующее обращение:
Предложение 4. Пусть T — ассоциативный закон на Е. Если xg E таково, что левый и правый переносы ух и дх являются отображениями E на E, то T обладает нейтральным элементом и х симметризуемо.
Так как ух (E)=E, то существует е?Е такое, что ух(ё)=х, т. е. Xj е==х; далее,так как 6Х (E)=E, то для каждого у ?Е существует z?E такое, что zTx=y, откуда уТe=zfхТe=zfх—у. Аналогично (меняя ролями и 6Ж) убеждаемся в существовании «' такого, что е'Ту—У для каждого у. Ho в таком случае, с одной стороны, е' T е=е', а с другой, е' Те=е, так что е=е', уТе=еТу=у при любом у, т. е. е — нейтральный элемент. Тогда существуют х' и х" такие, что xjх'=е, х"Тх=е; поэтому х"Т(агТх’)—х" , (х'т х)Т хг=х', откуда х'=х" их' — элемент, симметричный х.
Предложение 5. Пусть T — ассоциативный закон. Если х и у' соответственно симметричны х и у, то у' Jxr симметрично хТ у.
Действительно, (y’Jx) т (яТу) = y’T(x'Jx) Tу= у'Ту=е, и аналогично для (хТу)Т(у' Tx').
40 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I, § 2
Следствие 1. Пусть T — ассоциативный закон на Е. Если каждый элемент ха серии (^а)а?А элементов из E обладает симметричным х'а, то элементом, симметричным композиции T ха.
___ а GA
служит композиция | х'а, где А' — совершенно упорядоченное
а?А’
множество, полученное из А заменой его порядка противоположным.
Это следствие получается из предложения 5 индукцией UO числу элементов множества А.
П П
В частности, если хшх’ симметричны, то T х и Tх' симметричны для каждого целого гс> 0.
Следствие 2. Множество всех симметризуемых элементов относительно ассоциативного закона устойчиво.
Предложение 6. Если хих’ симметричны относительно ассоциативного закона и х перестановочно с у, то также х' перестановочно с у.
Действительно, из хТу = уТх вытекает х' T (хТу)Тх'= = х T (if T х) T х' или {х'Тх) T {уТ х') = {х'Ту)Т {xj х'), т. е. уТх=х'Ту.
Следствие. Если закон композиции ассоциативен, то элементы, симметричные центральным элементам, центральны.
Из предложения 6 вытекает также, что при существовании нейтрального элемента предложение 2 § 1 можно заменить следующим более полным результатом:
Предложение 7. Пусть T — ассоциативный закон композиции элементов множества Е, обладающий нейтральным элементом е: пусть XuY — подмножества множества E, X" (соответственно У") — устойчивое множество, порожденное объединением X (соответственно У), {е} и множества элементов, симметричных всевозможным симметризуемым элементам из X (соответственно У). Если тогда каждый элемент иэ X перестановочен с каждым элементом из Y, то каждый элемент из X" перестановочен с каждым элементом из У".
4 НЕЙТРАЛЬНЫЙ, регулярные, симметричные элементы 4$
4. Симметризация коммутативного ассоциативного закона
Элемент х?Е, симметризуемый относительно ассоциативного закона • T, регулярен относительно закона, индуцированного законом T на каждом устойчивом множестве, содержащем х. Обратно, можно задаться вопросом, возможно ли множество E с заданным ассоциативным законом T «погрузить» в более широкое множество E1 определив на последнем закон композиции так, чтобы он индуцировал T на E и чтобы относительно него каждый регулярный элемент из E был симметризуем. Это не всегда возможно *), но, как мы увидим, при коммутативности закона T задача разрешима.
Итак, предположим, что T коммутативен, и обозначим через Е* множество всех регулярных элементов из Е. Откинем прежде всего тот неинтересный случай, когда Е* пусто: задача тогда тривиально решается принятием за E самого множества Е. Таким, образом, будем в дальнейшем предполагать, что Е*Ф0. Говоря точно, нашей задачей является определить множество Е, коммутативный ассоциативный закон T на E и изоморфизм / множества E на устойчивое подмножество А множества E (наделенное законом, индуцированным законом Т) так, чтобы:
10E обладало нейтральным элементом относительно закона T ; 2° f(x) было симметризуемо в E для каждого регулярного •лемента х Є Е*.
Предположим сначала, что задача решена; пусть A*=f(E*}-и Л' —множество элементов, симметричных всевозможным элементам из ^4*. Устойчивость множеств А и А' относительно T влечет устойчивость AtA', поскольку тогда, вследствие коммутативности и ассоциативности закона Т. (AТА')Т(АТА’) — = (А TA) T (A' JA') CZ A JA'. AT А' содержит нейтральный элемент множества Е; далее, AT А' содержит А*, ибо если у?А* и у' — элемент, симметричный у, то у = уT (уTу') = (уT у) T у' 6
*) Cm. A. M а 1 с е v, On tlie immersion of an algebraic ring into a field ^ Math. Ann., т. 113, 1937, стр. 686.
