Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
п—р
Д E*, который бы зависел лишь от структуры Л-модуля в Е.
9) Пусть E — Л-модуль, обладающий конечным базисом, состоящим из п элементов. Пусть, далее, и — изоморфизм E на сопряженный модуль E*, Д — определитель матрицы и относительно базиса (в{) модуля E и сопряженного базиса (е^) модуля Е* и и—каноническое продолжение и до изоморфизма Д E на f\E*. Доказать формулу
_
tU-Т]П41Д • ф о и о ф,
где ф—изоморфизм, соответствующий базису Єї А ... Aen моду-п
ля Д Е.
10) Пусть X — квадратная матрица га-го порядка над коммута-
~ И—1
пивным кольцом и X =г- Д X. Показать, что если X обратима, то
ДВОЙСТВЕННОСТЬ ДЛЯ ВНЕШНЕЙ АЛГЕБРЫ
453
det X — (det Х)п ’, и что каждый минор Xh h р-го порядка матрицы X (§ 6, л° 3) задается формулой
XHiK = (det2f)PXH.iK.. (1)
где H' и К' — соответственно дополнения к H и А' относительно [1, гг] («тождества Якоби»). [Воспользоваться соотношением (30).J
11) Из каждого тождества Ф=0, связывающего миноры общей обратимой квадратной матрицы X л-го порядка над коммутативным кольцом А, можно вывести новое тождество Ф=0, называемое дополнительным к Ф = 0, применяя тождество ф = 0 к минорам матрицы Л (упражнение 10) и далее заменяя эти последние их выражением чере:і миноры матрицы X посредством тождества (1) упражнения 10. Доказать этим способом следующее тождество:
XihXik-XihXih =(det Х)-Х{>,Ы‘. где XiUhh означает минор (л — 2)-го порядка матрицы X, получающийся путем вычеркивания в ней строк с индексами і и / и столбпоъ с индексами h и к.
*12) Пусть Ф = 0 — тождество, связывающее миноры общей обратимой квадратной матрицы л-го порядка над коммутативным кольцом А, Ф = 0—дополнительное тождество (упражнение И), У — обратимая квадратная матрица (п + к)-то порядка, где к — целое >0, и Y0— подматрица матрицы У (см. упражнение 10), полученная путем вычеркивания в У строк и столбцов с индексами к. Если предположить, что У0 обратима, ц прпмеиить к ее минорам тождество Ф = 0, далее заменить каждый минор, фигурирующий в этом тождестве (рассматриваемый как минор матрицы У), его выражением через миноры матрицы У посредством тождества (1) упражнения 10, то получится тождество фк — 0 для миноров матрицы У (справедливое, когда У и У0 обратимы), называемое распространением к-ео порядка тождества Ф = 0.
В частности, пусть Л = ((Xij) — обратимая квадратная матрица (л+/с)-го порядка, В — ее подматрица /с-го порядка, полученная путем вычеркивания в А строк и столбцов с индексами > к, Aij — определитель матрицы (fc+l)-ro порядка, полученной путем вычеркивания в А строк с индексами ]> к, за исключением (/с+г)-й, и столбцов с индексами > к, за исключением (к~\ /)-го, и С — матрица ( Aij) и-го порядка. Доказать, что если матрица В обратима, то
det С = (dot A) (det В)п~1.
[Показать, что это тождество есть распространение к-то порядка полного разложения определителя п-то порядка.)
Указать тождества, получающиеся путем распространения лапласовского разложения (§ 6, п° 4), а также тождества упражнения 2 § 6.
ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. Ш, 5 8
*13) Пусть A=(Ii3) — обратимая квадратная матрица n-го порядка над полем К, И — подмножество интервала [1, л], состоящее из р элементов, и H1 — дополнение к H относительно [1, и|. Предположим, что для каждой пары индексов h? Н, к Є Н’ имеет место равенство
X li/iSife =0-І
Показать, что для любых двух подмножеств L, M интерпала |1, п], состоящих из р элементов, выполняется равенство
O.U.M'Xj., Н'~ -I., 1,'^М, 11*1/, W ”°-
[Рассматривая столбцы Xil матрицы X с индексами h ? IJ как векторы пространства E=Kn, а столбцы Xjl с индексами к как векторы сопряженного пространства E*, показать, что (п — р)-форма х'н, пропорциональна Cfp (жн).]
14) Пусть Г и Д — обратимые определители я-го порядка пад коммутативным кольцом и Tij — определитель, получающийся путем замены в Г его <-го столбца /-м столбцом определителя А. Показать, что
(let (Г;.,) = ГП“1Л.
(Разложить Tjj по /-му столбцу и использовать упражнение 10.]
ПРИЛОЖЕНИЕ I
К ГЛАВЕ III
БЕСКОНЕЧНЫЕ ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
/. Тензорные произведения модулей
Определение 4 § 1 без труда распространяется на тот случай, когда рассматривается любое (не обязательно конечное) семейство унитарных 4-модулей E1 (i? I). Тензорное произведение определяется аналогично как фактормодуль модуля фор-
мальных линейных комбинаций (с коэффициентами из А) элементов произведения JJ Ey по подмодулю, порожденному элементами
следующих типов:
1° (I1) +(г/1,)—(Z1), где хкА- у и = Zx для некоторого (произвольного) индекса х и Xl=^yl = Zl для всех і Ф и;
2° (X1)-а (уу), где Xil = аук для некоторого (произвольного) индекса и и X1-yt для всех i и.
Существует каноническое полилинейное отображение (I1) —(??) I1 произведения JJ E1 в QfyEl такое, что &)ЕЬ порож-
дается образом JJ E1 при этом отображении. Кроме того, для каж-
ДОГО полилинейного отображения / произведения JJ Ei в произ-
1&Г
вольный Л-модуль F существует, и притом единственное, линейное
отображение g модуля &)ЕЬ в F такое, что тождественно
