Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Найдем теперь модуль, сопряженный к р-й внешней степени
і'
Д?. Как мы знаем (§ 5, п° 5), существует (каноническое) взаимно
р
однозначное соответствие между линейными формами на Д E
р
и знакопеременными линейными формами на (х) E. Так как E обла-
р
дает базисом, то знакопеременные линейные формы Iia(^)Zi совпадают с антисимметрированными (§ 5, теорема 1). Ho поскольку E обладает конечным базисом, антнснмметрированные линейные р
формы на &) E отождествимы (канонически) с антисимметрированными ковариантными тензорами р-го порядка над E (н° 1). Наконец, так как Е* обладает базисом, то существует канонический изоморфизм модуля антисимметрпрованных ковариантных
р
тензоров р-го порядка над E на р-ю внешнюю степень Д Е* (§ 5, предложение 6).
Таким образом, в силу этих замечаний, можно установить
р
канонический изоморфизм модуля, сопряженного к Д?\ на модуль
р
f\E*. Для точного определения этого изоморфизма достаточно
р
указать линейную форму / па Д?\ которой соответствует разложимый р-вектор Xi Д ... Д х'р на Е* (§ 5, н° 5, схолия); с другой стороны, значения / будут известны для каждого р-вектора над Е, если онп известны для каждого разложимого р-вектора
X1 А ¦ ¦ ¦ А хр (§ 5, п° 5, схолия). Ho, согласно предыдущему, f канонически соответствует ковариантному тензору
а (х[ ® . . . g Хр) = V BaZo(I) 0 • ¦ • О Xа(р).
а
P
Этот последний отождествим с линейной формой на (??) Е, значением которой для тензора X1 ® ... ® принимая во внимание (4), служит
2 eJ (-rO(I)I • • ¦ (-iG(P)1 Хр). (5)
О
2 ДВОЙСТ-ЧЕІІНОСТЬ ДЛЯ ВНЕШНЕЙ АЛГЕБРЫ 439
Так как I1 Д ... Д Ip есть канонический образ X1 0 ... 0 хр
V
в Д? (§ 5, п° 5), то выражение (5) и есть искомое значение / (X1 А ... A ^p); согласно формуле (5) § 6, это выражение есть не что иное, как определитель матрицы ((Ti, х))). Иными словами, справедлива следующая теорема:
Теорема 1. Пусть E — модуль над коммутативным кольцом
V
А , имеющий конечный базис. Линейное отображение модуля Д E* в
р
модуль, сопряженный к Д Е, относящее каждому разложимому р-век-
V
тору х[ А • • ¦ А х'р над Eif линейную форму / на Д E такую, что /(.T1 А • ¦ ¦ A -rp) = det ((.Ti, х))) для каждого разложимого р-вектора над Е, есть изоморфизм модуля
P р
ДЕ* на модуль, сопряженный к [\Е (называемый, как и изоморфизм, обратный ему, каноническим).
р
Ислоду в дальнейшем модуль, сопряженный к f\E, будет
V
отождествляться с Дії* посредством установленного нами канонического изоморфизма; каноническая билинейная форма (гл. II,
р р
§ 4, а0 1) на (Д Е) X (Д E*) будет определяться тогда фундаментальной формулой
(T1A А гр, А ••• Atfp) = det((Zi,^)). (6)
V
Элементы модуля Д Е* (р-векторы над E*), отождествленные
р
так с линейными формами на Д E (и канонически соответствующие знакопеременным полилинейным формам на Ep), будут называться также р-формами на Е.
Пусть базис модуля E и — сопряженный
балпс в E*; формула (6) показывает, что
(^i1 А ¦ ¦ ¦ An0, А ¦ ¦ • А %> = det ((eih, e)h)).
Ho если существует индекс jk, ОТЛИЧНЫЙ от всех U1, то определитель, стоящий в правой част.і, имеет нулевой столбец; другими
440 полилипктіАЯ алгебра гл. ні, § в
словами, в обозначениях из n0 6 § 5 имеем
{ен, Єя) = 0, если H Ф К, 'I (ен, е’ц) = 1 ] ^
для каждого множества Я CZ [I, п\, состоящего из р элементов.
V
Мы видим, таким образом, что базис (ец) модуля Д E имеет своим
сопряженным базисом (е’ц). Для любого /7-вектора х—^:
н
и любой р-формы X = ^ ct/jfд на E имеем
H
<:г, .г') = 2«и«я. (8>
H
где H пробегает множество всех подмножеств интервала [1,'га], состоящих из р злемептоЕ.
Следствие. Пусть X и X’ — две матрицы из п строк и р столбцов надкольцом А. Для каждого множества IICZ [1, «]. состоящего из р элементов, обозначим через Хя (соответственно Хн) минор матрицы X (соответственно X’), множеством индексов строк которого служит И (а множеством индексов столбцов — интервал [I- P])• Тогда
det ((tX)X') = У ХдХя, (9)
я v 7
где H пробегает множество всех подмножеств интервала [1,/г], состоящих из р элементов.
Действительно, эта формула вытекает из формулы (6), примененной к столбцам Xi (I і <. р) матрицы X и столбцам х) (1 < І < Р) матрицы X', и формулы (8), примененной Ki--^1A ••• А хр и х' =х[ А •• • A xV (см- § 6, упражнение 6).
В частности, при X' = X, получаем соотношение
det ((iX)X) = У (Хя)2, (10>
я
называемое тождеством Лагранжа.
Предложение 1. Пусть EuF — A-модули с конечным базисом ии — линейное отображение EeF. Отображение, сопряженное
к p-й внешней степени Д и отображения и, совпадает с p-й внешнем
T
степенью Д (1и) отображения, сопряженного к и.
ДІЗОИСТНЕШЮСТЬ ДЛЯ ВНЕШПЕП АЛГЕБРЫ 441
P
Действительно, пусть V — отображение, сопряженное к Да. Для каждою разложимого р-вектора X1 Д ... Д хр над E и каждой разложимой р-формы у\ Д ... Д у'р на F, по определению, имеем
(X1 а • ¦ • Axp, v(y[ A- - A у'р)) =