Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бурбаки Н. -> "Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра " -> 170

Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.

Бурбаки Н. Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра — М.: Физ-мат литературы, 1962. — 515 c.
Скачать (прямая ссылка): algebraicheskiestrukturi1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 164 165 166 167 168 169 < 170 > 171 172 173 174 175 176 .. 201 >> Следующая


Найдем теперь модуль, сопряженный к р-й внешней степени

і'

Д?. Как мы знаем (§ 5, п° 5), существует (каноническое) взаимно

р

однозначное соответствие между линейными формами на Д E

р

и знакопеременными линейными формами на (х) E. Так как E обла-

р

дает базисом, то знакопеременные линейные формы Iia(^)Zi совпадают с антисимметрированными (§ 5, теорема 1). Ho поскольку E обладает конечным базисом, антнснмметрированные линейные р

формы на &) E отождествимы (канонически) с антисимметрированными ковариантными тензорами р-го порядка над E (н° 1). Наконец, так как Е* обладает базисом, то существует канонический изоморфизм модуля антисимметрпрованных ковариантных

р

тензоров р-го порядка над E на р-ю внешнюю степень Д Е* (§ 5, предложение 6).

Таким образом, в силу этих замечаний, можно установить

р

канонический изоморфизм модуля, сопряженного к Д?\ на модуль

р

f\E*. Для точного определения этого изоморфизма достаточно

р

указать линейную форму / па Д?\ которой соответствует разложимый р-вектор Xi Д ... Д х'р на Е* (§ 5, н° 5, схолия); с другой стороны, значения / будут известны для каждого р-вектора над Е, если онп известны для каждого разложимого р-вектора

X1 А ¦ ¦ ¦ А хр (§ 5, п° 5, схолия). Ho, согласно предыдущему, f канонически соответствует ковариантному тензору

а (х[ ® . . . g Хр) = V BaZo(I) 0 • ¦ • О Xа(р).

а

P

Этот последний отождествим с линейной формой на (??) Е, значением которой для тензора X1 ® ... ® принимая во внимание (4), служит

2 eJ (-rO(I)I • • ¦ (-iG(P)1 Хр). (5)

О
2 ДВОЙСТ-ЧЕІІНОСТЬ ДЛЯ ВНЕШНЕЙ АЛГЕБРЫ 439

Так как I1 Д ... Д Ip есть канонический образ X1 0 ... 0 хр

V

в Д? (§ 5, п° 5), то выражение (5) и есть искомое значение / (X1 А ... A ^p); согласно формуле (5) § 6, это выражение есть не что иное, как определитель матрицы ((Ti, х))). Иными словами, справедлива следующая теорема:

Теорема 1. Пусть E — модуль над коммутативным кольцом

V

А , имеющий конечный базис. Линейное отображение модуля Д E* в

р

модуль, сопряженный к Д Е, относящее каждому разложимому р-век-

V

тору х[ А • • ¦ А х'р над Eif линейную форму / на Д E такую, что /(.T1 А • ¦ ¦ A -rp) = det ((.Ti, х))) для каждого разложимого р-вектора над Е, есть изоморфизм модуля

P р

ДЕ* на модуль, сопряженный к [\Е (называемый, как и изоморфизм, обратный ему, каноническим).

р

Ислоду в дальнейшем модуль, сопряженный к f\E, будет

V

отождествляться с Дії* посредством установленного нами канонического изоморфизма; каноническая билинейная форма (гл. II,

р р

§ 4, а0 1) на (Д Е) X (Д E*) будет определяться тогда фундаментальной формулой

(T1A А гр, А ••• Atfp) = det((Zi,^)). (6)

V

Элементы модуля Д Е* (р-векторы над E*), отождествленные

р

так с линейными формами на Д E (и канонически соответствующие знакопеременным полилинейным формам на Ep), будут называться также р-формами на Е.

Пусть базис модуля E и — сопряженный

балпс в E*; формула (6) показывает, что

(^i1 А ¦ ¦ ¦ An0, А ¦ ¦ • А %> = det ((eih, e)h)).

Ho если существует индекс jk, ОТЛИЧНЫЙ от всех U1, то определитель, стоящий в правой част.і, имеет нулевой столбец; другими
440 полилипктіАЯ алгебра гл. ні, § в

словами, в обозначениях из n0 6 § 5 имеем

{ен, Єя) = 0, если H Ф К, 'I (ен, е’ц) = 1 ] ^

для каждого множества Я CZ [I, п\, состоящего из р элементов.

V

Мы видим, таким образом, что базис (ец) модуля Д E имеет своим

сопряженным базисом (е’ц). Для любого /7-вектора х—^:

н

и любой р-формы X = ^ ct/jfд на E имеем

H

<:г, .г') = 2«и«я. (8>

H

где H пробегает множество всех подмножеств интервала [1,'га], состоящих из р злемептоЕ.

Следствие. Пусть X и X’ — две матрицы из п строк и р столбцов надкольцом А. Для каждого множества IICZ [1, «]. состоящего из р элементов, обозначим через Хя (соответственно Хн) минор матрицы X (соответственно X’), множеством индексов строк которого служит И (а множеством индексов столбцов — интервал [I- P])• Тогда

det ((tX)X') = У ХдХя, (9)

я v 7

где H пробегает множество всех подмножеств интервала [1,/г], состоящих из р элементов.

Действительно, эта формула вытекает из формулы (6), примененной к столбцам Xi (I і <. р) матрицы X и столбцам х) (1 < І < Р) матрицы X', и формулы (8), примененной Ki--^1A ••• А хр и х' =х[ А •• • A xV (см- § 6, упражнение 6).

В частности, при X' = X, получаем соотношение

det ((iX)X) = У (Хя)2, (10>

я

называемое тождеством Лагранжа.

Предложение 1. Пусть EuF — A-модули с конечным базисом ии — линейное отображение EeF. Отображение, сопряженное

к p-й внешней степени Д и отображения и, совпадает с p-й внешнем

T

степенью Д (1и) отображения, сопряженного к и.
ДІЗОИСТНЕШЮСТЬ ДЛЯ ВНЕШПЕП АЛГЕБРЫ 441

P

Действительно, пусть V — отображение, сопряженное к Да. Для каждою разложимого р-вектора X1 Д ... Д хр над E и каждой разложимой р-формы у\ Д ... Д у'р на F, по определению, имеем

(X1 а • ¦ • Axp, v(y[ A- - A у'р)) =
Предыдущая << 1 .. 164 165 166 167 168 169 < 170 > 171 172 173 174 175 176 .. 201 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed