Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
(x<Qy, X1Qy1) = (h (X1Qy1)) (xQy) = /ц, ,,L (г(Qy) = / (у, у. X1, Ij1). и предложение доказано.
2. Тензорное произведение двух линейных отображений
Пусть А — кольцо, EmE' — правые Л-модули, F и F' — левые Л-модули, и\ Е—>Е' и v: F —> F' — Л-линейные отображения. Непосредственная проверка показывает, что отображение (х, у)—> —>u(x)Qv(y) произведения ExF в E1QaF' удовлетворяет условиям (2). Поэтому существует, и притом единственное, Z-линейное отображение її’ EQaF в E1QaF' такое, что
w (r(g)y) = п (x)Qv (у) (3)
ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВК III
463
для всех х?Е, y?F. Это отображение обозначается u&v и называется тензорным произведением линейных отображений и и V.
Если и, U1, U2 принадлежат Ха(Е, E') и v, Vi, V2 принадлежат ХЛ (F, F'), то, в силу (3),
Пусть Е" — правый Л-модуль, F" — левый Л-модуль и и': Е'-^-Е”, v’: F' F" — Л-линейные отображения. В силу (3),
Более общим образом, пусть Л и Л' — два кольца, E — правый Л-модуль, Е’ — правый Л'-модуль, F — левый Л-модуль и F'—левый Л'-модуль. Пусть, далее, ср: Л—>Af — гомоморфизм относительно кольцевых структур, а и: E—> E' и v: F—>F' — Z-линейные отображения такие, что и (хк) = и(х) ф (к) и v (ку) = = ф (k)v(y) для всех х?Е, y?F, к?А. Отображение (х,у)~-—> u(x)gv (у) произведения ExF в E'gAF' по-прежнему удовлетворяет условиям (2), ибо, в частности,
и (хк) ® V (у) = (и (х) ф (Д,))®и (у) = и (я)® (ф (к) V (у)) = и (x)gv (Ky).
Поэтому существует, и притом единственное, Z-линейное отображение w EgAF в E'(g)A’F' такое, что w(xgy) = u(x)gv(y). Если нет опасности смешения, иногда и это отображение обозначают ц®у; очевидно, оно обладает свойствами, аналогичными (4) и (5).
3. Операторы на EgAF
Пусть и — эндоморфизм правого Л-модуля Е. Если 1 означает тождественный автоморфизм левого Л-модуля F, то а® 1 есть эндоморфизм коммутативной группы E(g)AF (п° 2). При этом, согласно (4) и (5), для любых эндоморфизмов U1, иг Л-модуля E
Имеем li2)<g)I = (Ii1Ig)l)-+-(w2(g) 1) И (U1OU2)^I = (U1Ig) 1) о (и2® 1).
Отсюда, в частности, следует, что если В — кольцо и E наделено структурой левого (соответственно правого) 5-модуля, внешний закон которого перестановочен (гл. I, § 5, определение 5) с внешним законом структуры Л-модуля в Е, то тензорное произведение E(^)aF канонически неделимо структурой левого
(W1-J-Jt2)Ig)и= (ijj®и) -г (U2&v), I Ugl(Vi^V2) = (UQV1)jT(UgiV2). )
(4)
(и' о и)® (y' °v) = (к'® v') ° (« ® v).
(О)
464
ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ III
(соответственно правого) S-модуля, при которой
р-(.г®г/) = (Px) ®г/
{соответственно (х(Эг/)-Р= (:ф )<gy)
для всех р Є j&, х(Е?\ у 6 F.
Точно так же, если F наделено структурой левого (соответственно правого) С-модуля, внешний закон которого перестановочен с внешним законом структуры Л-модуля в F, то Eg AF канонически паделимо структурой левого (соответственно прав го) С-модуля, при которой
y-(x<gy)^xg,(yy)
(соответственно (%<gy)-y— xg(yy))
для всех Y 6 С, х?Е, у ?F. При этом, если Eg AF одновременно наделено структурой 5-модуля и структурой С-модуля, то, вследствие предыдущих формул, внешние законы этих двух структур переста новочны.
Пусть E'—правый Л-модуль, F'—левый Л-модуль, и: Е—>Е' и гк F—>F' — А-линейные отображения. Если EuE' наделены структурами (скажем, левого) S-модуля, внешние законы которых перестановочны с внешними законами структур Л-модуля, и если и в-линейно, то Ulgv В-линейно, ибо
(Ulg)V) (р (Xlgy)) = (UIgv) ((Px) (gy) = и (Pz)IgIU (у) =
= фи (x))gv (у) = P- (и (х)gv (у))
для всех P 6 В, х?Е, у Z.F. Точно так же, если FnF' наделены структурами С-модуля, внешние законы которых перестановочны с внешними законами структур Л-модуля, и если v С-линейно, то u(gv С-линейно.
Пусть Г — центр кольца Л. Гомотетии, определяемые в E (соответственно в F) элементами из Г, являются эндоморфизмами структуры Л-модуля в E (соответственно в F). Тем самым, согласно предыдущему, это определяет в EgAF две структуры Г-модуля с внешними законами (у,xigy)—>(xy)tgy и (у, xigy)—>x(g(yy); по определению E(gAF, эти две структуры совпадают. Если E' — правый Л-модуль, F' — левый Л-модуль, а и: Е—>Е' и v: F—>F'— Л-линейные отображения, то u(gv есть Т-линейное отображение
4
ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ III
465
EQaF в E'QaF'. Отображение (u,v)—>uQv произведения ХА(Е, E')xXa (F, F') в XT(EQAF, E'<QaF') определяет тогда (называемое каноническим) отображение ХА(Е, E')QV XA(F, F') в Jfr (EQaF, E'(QaF'), которое, очевидно, Г-линейно.
Заметим, что, так же как в п° 4 § 1, обозначение и (Q v может повлечь смешение элемента и Q v из Х\ (JiJ, E')QI,JgA(F, F') с его образом в J?T(EQxF, E'QaF') при упомянутом отображении, который мы в п° 2 также условились обозначать и Q v.
В случае, когда А коммутативно, E(QaF, согласно предыдущему, наделено структурой A-модуля, при которой a (x(Qy) = = (xa)(Qy = xQ(ay) для всех а ?А, х?Е, y?F. Для любого 4-билинейного отображения/произведения ExF в произвольный 4-модуль N существует Z-линейное отображение g модуля EQaF в N такое, что f (х,у) = g(x Q у) для всех х?Е, y?F; так как при этом для всех а ? А имеем
