Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим группу Xa(As,F), где F — левый Л-модуль. Так как правые умноження являются эндоморфизмами
левого Л-модуля Л s, то, согласно предыдущему, Xa (Л8, F) канонически наделимо структурой левого Л-модуля такой, что (а/)(?) — — 1 для всех /Є Xa (Л8, F) и всех an ^ из Л. Пусть 0Ж для каждого x?F — элемент из Xa (As, F), определяемый формулой 0Ж (X) = = Xx. Тогда отображениеg: х—> 0Х модуляFвXa(As, /^,называемое каноническим. Л-линейно.
Предложение 7. Каноническое отображение g: х —> 0Х левого A-модуля F в Xa(As, F) есть изоморфизм A-модуля F на А-модулъ Xa (Л8, F); обратным ему изоморфизмом служит h: /—>/ (1).
Действительно, Л-линейиость h непосредственно проверяется; так как очевидно g°h и h°g являются соответственно тождественными отображениями Xa (As, F) и F на себя, то тем самым предложение доказано.
Заметим, что если F наделено, кроме того, структурой 5-модуля, внешний закон которого перестановочен с внешним законом структуры Л-модуля, то канонический изоморфизм х—>0Х также 5-линеен.
Предыдущие свойства являются аналогами свойств E®aF, рассмотренных в п°п° 2, 3 и 4; свойства же, рассмотренные в п°п° 5 и 6, имеют своими аналогами свойства J?\(Е, F), доказанные в п°п° 2, 3 и 4 § 2 главы II.
S. Два канонических изоморфизма
Пусть E — правый Л-модуль, F — левый Л-модуль, G — коммутативная группа и H — коммутативная группа всех отображений/: ExF-^G, удовлетворяющих условиям (2). Какмы видели (n° 1), существует канонический изоморфизм H на Xz(E(&aF,G).
G другой стороны, в Xz (Е, G) существует каноническая структура левого Л-модуля, а в Xz{F,G) — каноническая структура
472
ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ III
правого Л-модуля (п° 7). Поэтому можно рассматривать группы XA(E,XZ(F, G)) и Xa (F, (Е, G)). Отображение / произведе-
ния ExFbG канонически отождествимо с отображением E в множество Gf всех отображенийF в G (Теор. мн., Рез., § 4, п° 14); выражая, что это последнее отображение принадлежит Xa (E,XZ(F, G)), получаем как раз условия (2). Тем самым имеем канонический изоморфизм H на ХА(Е, Xz(FtG)). Аналогично определяется канонический изоморфизм H на Хл (F, Xz (Е, G)). Эти изоморфизмы позволяют отождествлять группы Н, Xz(E<gAF,'G). Хл (E, Xz (F, (?)), Xa (F, Xz (Е, G)).
Предположим теперь, что E п G являются, кроме того, левыми (соответственно правыми) 5-модулями и что внешний закон
5-модуля-в E перестановочен с внешним законом Л-модуля. Тогда E(S)aF канонически наделимо структурой левого (соответственно правого) 5-модуля (см. п° 3), a Xb (Е, G) канонически наделимо структурой левого Л-модуля (п° 7). Поэтому можно рассматривать группы Xв (E<gAF, G) и Xa (F, Xв (Е, G)). Они являются соответственно подгруппами групп Xz(E(gAF,G) nXA(F,Xz(E,G)). Разыскивая условие, при котором отображение/: ExF—>G, удовлетворяющее условиям (2), соответствует элементу из Xb (E<&aF, G) или элементу из Xа(Е, Xd (Е, G)), в каждом из этих двух случаев находим одно и то же условие
/ (fa. У) = Р/ (ж. У)
(соответственно / (х$, у) — i (X, у) (J)
тождественно относительно P б 5, х?Е, y?F.
Аналогично, предположил!, что F и G — левые (соответственно правые) С-модули и что внешний закон С-модуля в F перестановочен с внешним законом Л-модуля. Тогда для того, чтобы отображение/: ExF—> G, удовлетворяющее условиям (2), соответствовало элементу из Xe (EgAF, G) или элементу из ХА(Е, Xq(F, G)), необходимо и достаточно, чтобы / удовлетворяло одному и тому же условию
/ (X, у у) = Y / (х, У)
(соответственно / (X, уу) = / (х, у) у)
тождественно относительно Y € С) Х?Е, у ?F.
Таким образом, установлен следующий результат:
Q ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ III 473
Предложение 8. а) Пусть g' для каждого g? Xb(EQaF,G) есть отображение F в с(Е, G), определяемое требованием, чтобы (g' (у)) (x) = g (xQy) для всех х?Е, IJtF. Тогда g—>g' есть изоморфизм коммутативной группы Xв (Е QaF, G) на группу JSAiFt Xe(EtG)).
б) Пусть h' для каждого h? Xe (EQa F, G) есть отображение E в Xe (F, G), определяемое требованием, чтобы (h' (х)) (y) = h(xQy) для всех х?Е, y?F. Тогда h—»К есть изоморфизм группы Xq(EQaF,G) на группу Xа(Е, Хс(Е, G)).
9. Коммутативность и ассоциативность тензорного произведения
Пусть E — правый и F — левый 4 -модуль. F можно рассматривать также как правый 4°-модуль, a E — как левый 4°-модуль, где A0 — кольцо, противоположное А.
Предложение 9. Существует, и притом единственный, изоморфизм а коммутативной группы EQaF на коммутативную группу FQaoE такой, что в (xQy)=yQx для всех х?Е и у ?F («коммутативность» тензорного произведения).
Действительно, отображение (x,y)—>yQx произведения ExF в FQaoE удовлетворяет условиям (2), если вспомнить, что произведение Kx (соответственно уК) при структуре левого (соответственно правого) 4°-модуля в E (соответственно в F) есть, по опро делению, произведение ха (соответственно Ky) при структуре правого (соответственно левого) 4-модуля в E (соответственно в F). Поэтому (предложение 1) мы получаем Z-линейное отображение а группы EQaF в FQaoE такое, что a (xQy) = yQx. Так же определяется Z-линейное отображение т группы FQaoE в E'QaF такое, что t (yQx)=xQy, и ясно, что ст и т — взаимно обратные изоморфизмы.
