Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Изоморфизм а и обратный изоморфизм T называются каноническими; в случае, когда E (соответственно F) наделено структурой Б-модуля (соответственно С-модуля), внешний закон которой перестановочен с внешним законом структуры 4-модуля, эти изоморфизмы очевидно являются также изоморфизмами структур 5-модуля (соответственно С-модуля), канонически определяемых в EQaF и FQAoE (п° 3).
474
ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ III
Пусть теперь А и 5 — кольца, Е — правый Л-модуль, F — коммутативная группа, наделенная структурами левого Л-модуля и правого 5-модуля с перестановочными внешними законами и G — левый 5-модуль.
Пусть С — коммутативная группа Z(?xi7xG) и D —ее подгруппа, порожденная элементами следующих типов:
(X1 х2, у, z) (^c1, у, z) (х2, У’ z)> )
(X, 2/1 + 2/2- z) - (ж- Уъ z) (ж> 2/2. z). J
(.-z;, ?/, Z1-I-Z2)—(а?, ?/, Z1) — (ж, 2/, Z2), ; (9)
(хХ, у, z) — (x, Ху, г),
(х, уц, z)—(x, у, \iz)
со всевозможными х, X1, X2 из Е, у, Ijl, у2 изF, z, Z1, Z2 из G, Х?А и [j, g 5. Коммутативная группа CID обозначается EgAFguG
или просто EgFgG, если это не может повлечь путаницы. Канонический образ (x,y,z)?C в QD обозначается xgygz.
Если g — Z-линейное отображение EgAFgnG в коммутативную группу Н, то отображение (х, у, z)—>f(x, у, z) = g(xgygz) очевидно удовлетворяет условиям
/ (X1 + X2, у, z) = f (X1, у, z) + / (х.2, у, Z), f(x> У1 + У2, z) = f(x, ylt z)-f/(.X, 2/2, z),
/ (X, у, Z1 + z2) = f (x, у, Z1) -f / (x, у, z2), (10)
f(xX,y,z) = f(x,Xy,z), I
f(x,y\i,z) = f(x,y,\iz). J
Обратно, пусть / — отображение ExFxG в H, удовлетворяющее условиям (10); рассуждая тогда, как при доказательстве предложения 1, заключаем, что существует, и притом единственное, Z-линейное отображение g группы EgAF®BG в H такое, что f (х, у, z) = g (xgygz) для всех X g Е, y?F, z?G.
Тем же рассуждением, что и при выводе следствия предложе-
ния 1, устанавливается следующее свойство единственности. Пусть H — коммутативная группа и h — отображение ExFXG в H, удовлетворяющее условиям (10) и такое, что h (Е X FxG) порождает Н\ предположим, что для каждой коммутативной группы L и каждого отображения / произведения E XFXG в L, удовлетворяющего условиям (10), существует Z-линейное отображение g группы H в L такое, что f=g°h. Тогда существует, и притом единственный, Z-изоморфизм г]з группы EgAFgsfi
9
ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ III
475
на H такой, что A=^oB1 где 0 означает каноническое отображение^, у, z)—>xQyQz произведения ExFxG в EQaFQijG.
Построим снова коммутативные группы Н, обладающие указанными свойствами. Поскольку внешние законы структур 4-модуля и 5-модуля в F перестановочны, можно (п° 3) канонически определить в EQaF структуру правого 5-модуля и, следовательно, образовать группу H=(EQaF)QbG. Пусть h — отображение (х, у, z) —> (xQy)Qz произведения ExFXG в Н; оно очевидным образом удовлетворяет условиям (10), и группа H порождается множеством h(ExFxG). Наконец, пусть /— отображение ExFxG в коммутативную группу L, удовлетворяющее условиям (10). Для каждого z?G отображение (ж, у)—> f(x, у, z) удовлетворяет условиям (2), а потому (предложение 1) существует Z-лп-нейное отображение ?г группы EQaF в L такое, что gz(xQy) = = f(x,y,z), каковы бы ни были х?Е и y?F. Рассмотрим отображение (и, z) —» gz (и) произведения (Е QaF) X G в L. Имеем
gzx+z2 (и) = gzx (и) + gzt (и), gz (U1 + и2) = g, (U1) + gz (и2)
и
gz (U\l) = g^z (U)
(первое и третье из этих соотношений очевидны, когда и имеет вид X Q у, и распространяются на общий случай по линейности). Поэтому существует Z-линейное отображение g группы (Е QaF) QbG в L такое, что g((xQ у) Q z) = /(х, у, z) для всех х?Е, y?F, z?G. Аналогичное рассуждение можно провести для E Q a(F QbG), так что нами установлено следующее предложение:
Предложение 10. Существует, и притом единственный, изоморфизм
<р: E QaF QbG—>(E QaF) QbG
такой, что <p (х Q у Q z) = (х Q у) Q z, и однозначно определенный изоморфизм
я|з: EQaFQbG—>EQA(FQBG)
такой, что г|з (х Q у Q z) = х Q (у Q z) («ассоциативность» тензорного произведения).
476
ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ III
Эти изоморфизмы, а также обратные им изоморфизмы и композиции cpoajr1 и а|зоф-1 называются каноническими. Если, например, F наделено структурой С-модуля, внешний закон которой перестановочен с внешними законами структур Л-модуля и 5-модуля в Fi то, как в п° 3, устанавливается, что E 0aF 0bG канонически наделимо структурой С-модуля и что предыдущие канонические изоморфизмы С-линейны; аналогично, когда E (соответственно G) наделено структурой модуля, внешний закон которой перестановочен с внешним законом Л-модуля (соответственно 5-модуля) в E (соответственно G).
Сказанное выше допускает обобщение на случаи п — 1 колец. Лі(1<і< п — 1) и п модулей EljE2, . . .,E11. Предположим, что» E1 есть правый Л j-модуль, En- левый Л„_1-модуль и Ei при 1 < і < п наделено структурами левого Лі_1-модуля и правого Л-модуля, внешние законы которых перестановочны. Тогда тензорное произведение E1 (g)Ai E2 0Аг • • • (SiAn-2 Я„-1 ® An-i En, или просто E1 0 E2 0. ..0 En, определяется таким образом, что2-линей-ные отображения этой группы в коммутативную группу L взаимно однозначно соответствуют отображениям E1 X E2X ... X En в Lr удовлетворяющим условиям, которые обобщают условия (10) и формулирование которых мы предоставим читателю. И здесь имеются изоморфизмы «ассоциативности», которые читатель определит по приведенному выше образцу. В случае, когда все Ai совпадают с одним и тем же коммутативным кольцом А, мы вновь получаем тензорное произведение E1 0 E2 0 ... 0 En, определенное в п° 7 § 1 (без его структуры Л-модуля).
