Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бурбаки Н. -> "Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра " -> 185

Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.

Бурбаки Н. Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра — М.: Физ-мат литературы, 1962. — 515 c.
Скачать (прямая ссылка): algebraicheskiestrukturi1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 179 180 181 182 183 184 < 185 > 186 187 188 189 190 191 .. 201 >> Следующая


4) Пусть К — тело, L — его подтело, Kjj — тело AT, рассматриваемое как правое векторное пространство наді, и E = Xl (Kl) — кольцо эндоморфизмов этого векторного пространства. Вследствие того, что левые умножения определяют в AT структуру левого векторного пространства над AT, внешний закон которого перестановочен с внешним законом пространства Kjj, E оказывается канопически неделимым структурами левого и правого векторных пространств над AT, внешние законы которых перестановочны (п° 7; см. главу II, § 5, п° 5 и упражнение 4). Сопряженное (Kj)* к К/, содержится в Е; это — правое векторное подпространство над AT и левое векторное подпространство над L (относительно структуры, получающейся путем сужения тела скаляров AT структуры левого векторного пространства в ? до L). В случае, когда L содержится в центре тела К, структуры векторного L-пространства в Е, получающиеся путем сужения до L тела скаляров двух структур векторного АГ-пространства в Е, совпадают.

Н. Бурбаки
ПРИЛОЖЕНИЕ IX К ГЛАВЕ III

Далее предполагается, что L содержится в центре тела К, н раз мерность Kl конечна и равна п.

а) Показать, что (Kl,)* имеет размерность 1 при структуре правого векторного пространства над К. [Заметить, что (Kl)* имеет размерность п при структуре векторного пространства над L.]

б) Вывести, что в этом случае E есть /г-мерное правое векторное пространство над К. [Показать, что если (а{) — базис пространства Kl относительно L и и0 — ненулевая лннейная форма на Kl, то элементы (ци0 образуют в E базис для структуры правого векторного пространства над К.]

в) Пусть F — правое векторное пространство конечной размерности над KhFl — векторное пространство над L, получающееся путем сужения его тела скаляров до L. Показать, что если и0 — ненулевая линейная форма на Kl, то отображение х' -*¦ и0 ° х' пространства F*, сопряженного к F (рассматриваемого как векторное пространство над L), на пространство (Fl)*, сопряженное к Flj, является изоморфизмом F* на (Fl)*. [При доказательстве инъективности этого отображения использовать а).]

5) Пусть К — тело конечного ранга над своим центром ZmL-подтело этого тела, содержащее Z.

а) Показать, что структуры левого и правого векторных пространств в К относительно L имеют одинаковую размерность.

6) Показать, что свойства а), б) и в) из упражнения 4 еще сохраняются в этом случае. [Заметить, что если и0 — ненулевая линейная форма на Lz в V0 — ненулевая линейная форма на Kl, то (и0 о v0)-X= -^u0O(V0-X) описывает (Kz)*, когда X описывает К, и воспользоваться упражнением 4в.]

б) Пусть А — кольцо, Г — его центр, E — правый Л-модуль, F — левый Л-модуль, а ?* и F*— их сопряженные модули. Отображение / модуля Е* 0rF* в А называется двояко линейным, если / (aw)— -= af (w) и f (wa) = f (w) а для всех ш ? Е* QrF* ш а ? А. Показать, что существует, її притом единственное, Г-липейпое отображение ф модуля E 0х P в Г-модуль L всех двояко линейных отображений Е* (x)rF* в А такое, что

(ф (*<8>3/)) (ж' = х) (у. у').

При этом, если каждый из Л-модулей ? и F обладает конечным базисом, то <р есть биекция E F на L.
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ II и III

(Римские цифры относятся к библиографии, помещенной в конце настоящего очерка.)

Линейная алгебра является одновременно и одной из древнейших, и одной из новейших отраслей математики. С одной стороны, еще у истоков математики мы находим задачи, решающиеся одним умножением или делением, т. е. вычислением одного из значений функции вида f(x) = ах или нахождением решения уравнения вида ах = Ъ\ по это — типичные задачи линейной алгебры, и их невозможно ни рассматривать, ни даже корректно ставить, не «мысля линейно».

С другой стороны, не только эти вопросы, но почти всё касающееся уравнений первой степени уже давно отошло в область элементарного преподавания, когда современное развитие понятий тела, кольца, топологического векторного пространства и т. д. выявило все значение основных понятий линейной алгебры (например, двойственности); именно тогда был подмечен существенно линейный характер почти всей современной алгебры, одной из отличительных черт которой и является эта «линеаризация», и линейной алгебре было отведено подобающее ей место. Поэтому проследить историю ее развития с точки зрения, на которой мы стоим, было бы задачей столь же важной, сколь и трудной; и мы вынуждены будем ограничиться здесь замечаниями довольно общего характера.

Из предыдущего видно, что возникновение линейной алгебры, несомненно, было вызвано пуждами вычислителей-практиков. Так, например, во всех практических руководствах по арифметике, начиная с египетского папируса Райнда, через Ариабхатту, арабов, Леонардо Пизапского, неисчислимые «вычислительные книги» средних веков и эпохи Возрождения и вплоть до почитаемых в наших начальных школах, важную роль играют более или менее ясно высказанные тройное правило и правило ложного положения *); но они, быть может, никогда не были чем-либо иным, как извлечением для нужд практиков из более развитых научных теорий.
Предыдущая << 1 .. 179 180 181 182 183 184 < 185 > 186 187 188 189 190 191 .. 201 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed