Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
10. Изменение основного кольца
Пусть Л и 5 —кольца и Q—гомоморфизм Л в 5, преобразующий единичный элемент в единичный элемент. Каждый левый (соответственно правый) 5-модуль N может рассматриваться как левый (соответственно правый) Л-модуль, если считать а-х-Q (а) х (соответственно x-a — xq (а)) для всех x?N и а Є Л; выполнение аксиом унитарного модуля при этом очевидно. Каждый гомоморфизм 5-модуля M в 5-модуль N будет также гомоморфизмом относительно соответствующих структур Л-модуля в M и N.
10
ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ III
477
В частности, 5, наделенное структурой правого 5-модуля (т. е. структурой Bd), может также рассматриваться как правый Л-модуль; поэтому, если E — левый Л-модуль, можно образовать тензорное произведение В ®аЕ (где подразумевается, что В наделено структурой, определяемой гомоморфизмом q). Так как В наделено также структурой левого 5-модуля (структурой Bs), а внешние законы в Bs и Bd перестановочны, 5®А5 канонически наделимо структурой левого В-модуля (п° 3). Мы говорим, что этот 5-модуль получен из E путем расширения кольца скаляров посредством q до В, и обозначаем его 5<в,с) или просто E(B), если можно не опасаться путаницы. В случае, когда А есть подкольцо центра кольца 5, содержащее единичный элемент, a Q—каноническая инъекция Л в 5, мы вновь получаем модуль Е(В), определенный в n0 1 § 2.
Возвращаясь к общему случаю, будем называть Z-линейное ¦отображение ф: х —> 1 ® х модуля E в В@аЕ — Е(В) каноническим. Для всех а?Л и х?Е имеем
Ф (ах) = I <g) (ах) = q (а) ® х = Q (а) (I ® х) = Q (а) ф (х),
иными словами, ф А-линейно (относительно структуры левого Л-модуля в Е(В), получающейся из его структуры 5-модуля, как описано в начале этого п°). Канонический образ ф (E) модуля E в Еф) порождает 5-модуль E(B)-
Предложение 11. Для каждого А-линейного отображения / модуля E в левый В-модулъ F существует, и притом единственное, В-линейное отображение f модуля Е(В) 8 F такое, что j(x) = f( 1 ® х) для всех х?Е.
Это доказывается так же, как предложение 2 §2, с использованием предложения 1, установленного в п° 1.
Согласной03, для каждого Л-линейногоотображенияgмодуля E в левый Л-модуль E' отображение g=l ® g модуля 5(в) в Е[В)
5-линейно; при этом, обозначая через ф' каноническое отображение E' в Е{В), имеем ?(ф(х)) = (1 <g)g) (1 ® х) = 1 ® g(x) = y' (g(x)) для каждого х? Е, т. е. gоф=ф' оg. Очевидно, g есть единственное
5-линейное отображение Е(В) в Е[в) такое, что g(l ® х) = 1 ® g(x).
478
ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ III
Пусть теперь С — кольцо и сг — гомоморфизм В в С, преобразующий единичный элемент в единичный элемент. Тогда можно рассматривать, с одной стороны, С-модуль (Е(в, о))(С, 0)1 а с другой — С-модуль Е(с, сод), которые мы будем для упрощения обозначать (E(B))(C) и Е^с)- Коммутативными группами этих модулей служат соответственно С <g) в (В <§) аЕ) и С Q аЕ. Ho С-модуль С Qb (В QaE) канонически отождествим сС-модулем (С QbB) QaE (предложение 10); с другой стороны, С-модуль CQbB отождествим с С-модулем Cs посредством изоморфизма —>¦ -^Ycr(P) (предложение 3), и этот изоморфизм есть также изоморфизм относительно структуры правого 4-модуля в С QbB, определяемой гомоморфизмом Q, и структуры правого 4-модуля в С» определяемой гомоморфизмом О О Q. В итоге мы получаем изоморфизм 9 С-модуля (E(B))(C) на С-модуль Е(о, называемый, как и изоморфизм, обратный ему, каноническим, такой, что
9 (Y ® (Р <8> 2O) = (Ycr (P)) <8> 2
для всех х?Е, Р6 5, у?С. Если і|з и ф' означают соответственно канонические отображения E в Е(о и E(B) в (Е(В)\с), изоморфизм 0 отождествляет ф' о ф с
Пусть E — 4-модуль, обладающий базисом (a%)x?L, и ф —каноническое отображение а;—> 1 <§) х зтого модуля в Е(в, 0у, из следствия предложения 5 вытекает, что (ф (ax))xsL есть базис 5-модуля Е(В,0)* Для того чтобы ф было инъективным, необходимо и достаточно*
чтобы Q было инъективным, ибо ф(2 ЕаЯя) = 2 Q (Ы (1 <8> а>.)*
XSL XeL
Аналогичные определения и свойства получим, отправляясь от правого 4-модуля Е.
11. Применение: размерность модуля
Предложение 12. Пусть А — кольцо и E — свободный левый A-модуль. Если существует гомоморфизм кольца А в тело D, переводящий единичный элемент в единичный элемент, то любые два базиса E над А равномощны.
Действительно, пусть Q — гомоморфизм 4 в D и ф — каноническое отображение модуля E в векторное пространство E(Dt0)', как мы видели в п° 10, для каждого базиса (а%) модуля E (ф (ах))
11
ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ III
479
есть базис в E(DtQ), мы видим таким образом, что если E обладает конечным базисом над А, то каждый другой базис конечен и состоит из такого же числа элементов (гл. II, § 3, теорема 3).
Предположим теперь, что E обладает бесконечным базисом (a%)x?L, и пусть (бц)цем — другой базис этого модуля. Пусть С (|х) для каждого (д,g M — конечное множество тех X?L, для которых компонента b^ с индексом X относительно базиса (ах)
отлична от нуля, и C=II С(\х). Имеем Card (С) < Card (M) *)
ЦЄМ
(Теор. мн., гл. III, § 6, следствие4теоремы 2); но так как для каждого |д,?М принадлежит подмодулю в Е, порожденному теми ах,. для которых б С, откуда следует, что C=L, то Card (L) < Card (M); так же устанавливается, что Card (M) < Card (L), и предложение доказано.
