Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
(1)
460
ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВК III
Определение 1. Тензорным произведением правого A-модуля E и левого A-модуля F называют коммутативную группу С/D (факторгруппу группы формальных линейных комбинаций элементов произведения ExFc целыми коэффициентами по ее подгруппе, порожденной элементами типов (1)). Это тензорное произведение обозначается E ® F или E ® ^ F [или просто E ® F, если
А
нет опасности смешения). Для любых х?Е и у ? F элемент тензорного произведения E ® F, являющийся каноническим образом элемента (х, у) ? С в С/D, обозначается х^у.
Отображение (х, у)—>х®у произведения ExF в E (&F называется каноническим отображением ExF в E (g> F.
Очевидно, E (QaF канонически изоморфно факторгруппе группы E^zF по ее подгруппе, порожденной всевозможными элементами вида (х%) ® у— х ® (Ху), где \?А.
Как мы увидим (п° 3), в случае, когда А -коммутативное кольцо, это определение и определение 3 § 1 действительно приводят к одной и той же коммутативной группе E (g)F. Однако в смысле теперешнего определения E (g)F не наделено структурой Л-модуля; в п° 3 мы увидим, что это расхождение двух определений несущественно.
Предложение 1. а) Пусть g — Ъ-линейное отображение группы E (?)aF в коммутативную группу G. Тогда отображение [х, у)—> —>/(х, у) = g(х(3 у) произведения ExF в G удовлетворяет следующим условиям:
f [X1-iT X^ 2/) = /(?, y) + f[xi, у),
/(*> Уі + у2)=ї(х, Vi)+f[x, у2), ¦ (2)
f[xk,y)=f[x,ky).
б) Обратно, пусть /—отображение произведения ExFe коммутативную группу G, удовлетворяющее условиям (2). Тогда существует, и притом единственное, Ъ-линейное отображение g группы E (QaF в G такое, что f [х, у) = g[x(& у) для всех х?Е, у€ F.
По определению тензорного произведения E<S>aF. имеем
о = [X1 + X2) ® у - X1 ® у - Xi (g) у =
= X(S) [у1 + Уг)-х®Уі-х®уй = [х'К)®у — х® [Ky),
откуда следует а). Для доказательства б) заметим, что, в обозначениях определения 1, / продолжается до Z-линейного отобра-
/ ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ IIl 461
жения / группы CbG (гл. II, § 2, замечание после следствия 2 предложения 3). В силу соотношений (2), / аннулируется на всех элементах типа (1), а значит, и на D. Следовательно, существует Z-линейное отображение g факторгруппы ClD = E (?)aF в G такое, что / = ?°ф, где ф — каноническое отображение С на CjD (гл. II, § 2, предложение 1); единственность g очевидна, поскольку E §§AF порождается (как Z-модуль) элементами вида х ® у.
Таким образом, предложение 1 определяет канонический изоморфизм коммутативной группы всех отображений / произведения ExFbG, удовлетворяющих условиям (2), на коммутативную группу %z{E ®aF , G) Z-линейных отображений E(^)aF в G.
Следствие. Пусть H — коммутативная группа и h— отображение ExF в Н, удовлетворяющее условиям (2) и такое, что H порождается множеством h (ExF). Предположим, что для каждой коммутативной группы G и каждого отображения f произведения ExF в G, удовлетворяющего условиям (2), существует Ъ-линейное отображение g группы HeG такое, что f=g°h. Тогда, существует, и притом единственный, изоморфизм г]з группы E QQaF на H такой, что /г. = гр о 0, где 0 означает каноническое отображение ExFeE ® a F.
Согласно предложению 1, существует, и притом единственное, Z-линейное отображение группы E (g)AF в H такое, что А = г|>о0. C другой стороны, если принять за G коммутативную группу E<E)aF, а за / — отображение 0, то из предположений, сделанных относительно h и H, будет следовать существование Z-линей-ного отображения группы H в E <S)aF такого, что 0 = 1^0 h. Для
завершения доказательства остается показать, что 'фо'фх и о-ф.— тождественные отображения соответственно H ж E CR)a F на себя. Ho так как 0^00 = 1^0^ = 0, то есть тождественное отображение E (g)AF на себя, поскольку Q(ExF) порождает группу E <SiaF. Точно так же, -ф о -Vp1 о/г.=гро0=/г., и потому г^ог^ есть тождественное отображение H на себя, поскольку h(ExF), по предположению, порождает Н.
Отметим, что, в силу предложения 1, пара (Е F, 0) является
решением следующей проблемы универсального отображения (Теор. мн., гл. IV, § 3): род структуры 2 есть род структуры коммутативной группы, морфизмами являются Z-линейные отображения, а а-отобра-
462
ПРИЛОЖЕНИЕ 11 К ГЛАВЕ III
жения — это отображения ExF в коммутативную группу, удовлетворяющие условиям (2). Таким образом, свойство единственности, установленное в следствии, есть не что иное, как общее свойство единственности решения проблемы универсального отображения (там же).
Предложение 2. Пусть E и Ei- правые A-модули, F и F1--левые A-модули, G — коммутативная группа и /- Ъ-полилиней-ное отображение E X F X E1X F1 в G такое, что
f (.тХ, у, уj) / (х, X?/, X1, Уі), f(x, у, T1X, y1) = f(x, у, X1, Ky1)
для любых X^ E, X1^E1, у?F, ух^ Fi и Xg А. Тогда существует, и притом единственное, Ъ-билинейное отображение g произведения (Е QaF) X (E1QaFі) в G такое, что f(x, у. X1, JZ1) = = g(xQy, X1(Qy1) для любых х?Е, у ?F, X1^E1, y1?Fl.
Единственность g явствует из того, что элементы вида X Q у (соответственно X1(Qy1) порождают EiQaF (соответственно E1(QaF1). Докажем его существование. Для каждой пары (а;,. уг) E1X F1 существует, и притом единственное, Z-линейное отображение hx у группы EQaF В G такое, ЧТО AarrV1 (x,S>y) =/ (х; У> хь Уl)- Отображение (X1, уг)-->hx у произведения E1XF1 в J€z (E(QAF, G) Z-билинейно, и hx k,y = hx Xyi для всех X 6 4. Поэтому существует Z-линейное отображение h группы E1IQaF1 в ?z(EQaF, G) такое, что h (xi <Q Уі) = hx Vi- В силу предложения 1 § 1, тогда существует Z-билинейное отображение g произведения (E(QaF)X(E1QaF1) в G такое, что
