Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
*) Cm. J. Tropfke, Geschiclite der Elementar-Mathematik, т. I, 2-е изд., Berlin — Leipzig (W. de Gruyter), 1921, стр. 150—155.
M •
484
ИСТОРИЧЕСКИЙ очерк к ГЛАВАМ II И III
Что касается математиков в собственном смысле, характер их исследова-аий по линейной алгебре является функцией общей структуры их науки. В древнегреческой математике, как она изложепа в «Началах» Евклида, были развиты две абстрактные теории линейного характера, а именно, с одной стороны, теория величин ((II), Книга V; см. Исторический очерк к главе IV «Общей топологии»), с другой — теория целых чисел ((II), Книга VII). У вавилонян мы находим методы, значительно более близкие к нашей элементарной алгебре; они умели решать, и притом весьма изящно ((I), стр. 181— 183), системы уравнений первой степени. Тем не менее в течение весьма долгого премени прогресс линейной алгебры зависит главным образом от прогресса алгебраической техники, и в этом аспекте, чуждом настоящему очерку, его я следовало бы рассматривать; так, для сведения линейной системы к уравнению вида ах = Ъ достаточно, если речь идет лишь об одном неизвестном, знать правила (по существу, сформулированные уже Диофантом) перенесения членов уравнения из одной его части в другую и приведения подобных членов: имея же дело с несколькими неизвестными, достаточно, сверх того, уметь последовательно исключать их, пока не останется только одно. Поэтому в руководствах по алгебре вплоть до XVIII века, в том, что относится к первой степени, цель считалась достигнутой, как только изложены эти правила; что же касается системы с одинаковым числом уравнений и неизвестных (а другие системы и не рассматриваются), левые части которой не являются линейно независимыми формами, то неизменно довольствовались беглым замечанием, что это указывает на плохо поставленную задачу. В руководствах XIX века и даже некоторых более поздних эта точка зрения сохраняется и прогресс наблюдается лишь в обозначениях, позволивших записывать системы п уравнений с п неизвестными, и введении определителей, позволившем давать явные формулы решения этих систем в «общем случае»; этим прогрессом, честь которого принадлежала бы Лейбницу ((VII), стр. 239), если бы он развил и опубликовал свои идеи по этому поводу, мы обязаны главным образом математикам XVIII и начала XIX веков.
Ho нам следует прежде рассмотреть различные идейные течения, гораздо более способствовавшие развитию линейной алгебры в том смысле, как мы ее понимаем, чем изучение систем линейных уравнений. Вдохновленный изучением Аполлония, Ферма (IVa), даже до Декарта (V), приходит к принци-аам аналитической геометрии, к идее классификации плоских кривых ло их порядку (идее, которая, становясь постепенно привычной для всех математиков, может считаться окончательно усвоенной к концу XVII века) я выдвигает фундаментальный принцип, что уравнение первой степени представляет на плоскости прямую, а уравнение второй степени — коническое сечение,— принцип, из которого оп сразу выводит «весьма красивые» следствия, относящиеся к геометрическим местам. В то же время он предлагает (IV6) классификацию задач на задачи определенные, задачи, сводящиеся к уравнению с двумя неизвестными, уравнению с тремя неизвестными а т. д., и добавляет: первые состоят в определении точки, вторые —
линии или плоского места, следующие — поверхности, и т. д. (...«такая шдача состоит в разыскании не одной лишь точки или линии, но целой связан-
исторический очерк К ГЛАВАМ II И III
485
ной с вопросом поверхности', отсюда и возникают пространственные места и так же для последующих», там же, стр. 186; здесь уже виден зародыш «-мерной геометрии). Этот отрывок, выдвигая принцип размерности ь алгебре и алгебраической геометрии, намечает слияние алгебры и геомет рии, целиком согласующееся с современными идеями, хотя, как известна понадобилось более двух веков, прежде чем оно овладело умами.
Всё же эти идеи привели скоро к расцвету аналитической геометрии, достигшему всей своей полноты в XVIII веке в трудах Клеро, Эйлера, Крамера, Лагранжа и многих других. Линейный характер формул преобразования координат на плоскости и в пространстве, который не мог не заметить уже Ферма, отчетливо выступает, например, у Эйлера ((VIIIa), гл. II—III, в Append., гл. IV), основывающего на нем классификацию плоских кривых, а также поверхностей по их порядку (инвариантному именно вследствие линейности этих формул); это Эйлер ((VIIIa), гл. XVIII) вводит также слово «affi-nitas» («родство» *)) для обозначения отношения между кривыми, которые могут быть получены одна из другой преобразованием вида х’= ах, у’= by (не замечая, однако, ничего геометрически инвариантного в этом определении, остающемся связанным со специальным выбором координатных осей) Несколько позже мы видим Лагранжа (IXa), посвящающего целый мемуар. долгое время пользовавшийся заслуженной известностью, типично линейным и полилинейным задачам трехмерной аналитической геометрии. К этому же времени в связи с линейной задачей, состоящей в разыскании плоской кривой, проходящей через заданные точки, оформляется, сначала несколько эмпирическим путем, понятие определителя у Крамера (X) и Везу (XI). развитое затем различными авторами, это понятие с его основными свойствами получает окончательный вид у Коши (XIII) и Якоби (XVIa).
