Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
ІЄІ
/((*l)) = tf
I е/
Каково бы ни было разбиение (/?)?^ множества индексов /,
тензорное произведение (^) E1 канонически изоморфно тензорному
1?1
456 ПРИЛОЖЕНИЕ I К ГЛАВЕ III
произведению 0 F-K, где Fx = (^) E1 (ассоциативность тензорного
произведения).
> Предложения 6 и 7 § I ие распространяются на тензорные произ-
ведения бесконечных семейств модулей.
2. Тензорные произведения алгебр
Пусть (E1)1^1 — произвольное (конечное или бесконечное) семейство алгебр над одним и тем же коммутативным кольцом А
(с единицей). Введение на модуле 02?t ассоциативного умножения
і V
по формуле
(0^)' (02/J = 0(^2/0 і і і
определяет в 0El структуру алгебры относительно А.
ІЄГ
Наиболее интересен тот случай, когда каждая из алгебр Elr обладает единичным элементом eL. Тогда для каждого I существуют канонический гомоморфизм <ри кольца А в Ek и канонический гомоморфизм /и алгебры Ek в 0?\,, наделенное структурой
іє/
алгебры, определяемые формулами фи(а) = аеи для всех
/и(ж) = 0Уі, где yt = et для іфх и у.Л = х?Е. і ?/
Подалгебры Ji(El) попарно коммутируют (§ 3, и° 3), и порожденная ими подалгебра алгебры 0 E1 состоит из (конечных) сумм
ІЄГ
элементов вида 0?i, где Xi = еь для всех кролю конечного числа
I
индексов. Вследствие ее употребительности именно этой подалгебре (а не всему 02?t) присвоено наименование тензорного
і U
произведения алгебр E1. Она обозначается 0?\ и вообще отлична
W
от алгебры ^lEl, когда I бесконечно.
I ?/
Предложение 1 § 3 распространяется на тензорное произведение любого семейства алгебр, обладающих каждая единичным
ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ IlI
457
элементом. Это уже не верно ни для предложения 7 § 1, ни для предложения 2 § 3.
Предположим, однако, что каждая алгебра E1 обладает базисом B1, в который входит единичный элемент et (что всегда имеет
место, когда кольцо А есть поле). Тогда элементы в кото-
IV
рых X1 Є Bi для каждого I g I И X1 = et для всех кроме конечного числа индексов і, образуют базис В тензорного произведения
(^E1. Действительно, то, что эти элементы порождают (і) (D
очевидно, и нужно только доказать, что они образуют свободную систему. Для этого достаточно, согласно n0 1, доказать, что для
каждого элемента a = аь? В существует полилинейное ото-
I а
бражение g произведения JJ E1 в А такое, что g((at)) = 1 и g((bt)) —
I ?1
= 0 для всех элементов b = &) bL из В, отличных от а. Ho пусть U1
I ?1
для каждого і Є I— координатная форма на E1, относящая каждому Z1 g Eі коэффициент при aL в выражении Z1 в виде линейной комбинации элементов X1^B1. Для каждого элемента z —
= (zt) Є JJ E1 положим і?І
"(г) = 0, если Zl=^el для бесконечного множества индексов іg/;
g (z) = IJ M1 (Z1) в противном случае. і?І
Последняя формула имеет смысл, поскольку at = et для всех кроме конечного числа индексов; и следовательно, если zL = eL для всех кроме конечного числа индексов, ТО Ul(Zt) = 1 ДЛЯ всех кроме конечного числа индексов. Непосредственно проверяется, что определенное так отображение g полилинейно и отвечает поставленным условиям.
Отсюда сразу следует, что в рассматриваемом случае гомоморфизмы /і и фі, определенные в начале этого п°, инъективнъг, они позволяют отождествить алгебры E1 с коммутирующими
подалгебрами тензорного произведения &) E1, а А— с общим
(!)
458 ПРИЛОЖЕНИЕ I К ГЛАВЕ III
подкольцом всех этих подалгебр. Кроме того, каково бы ни было
непустое множество /Cl/, канонически отождествимо
(J)
с некоторой подалгеброй тензорного произведения Q^E1; по усло-
(I)
вию, E1 означает кольцо А.
(0)
Тензорное произведение (х^) Ei можно определить также как «индук-
(I)
тивный предел» тензорных произведений E1, где J пробегает MHO-
t?J
жество всех конечных подмножеств множества /.
ПРИЛОЖЕНИЕ II
К ГЛАВЕ III
ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ НАД НЕКОММУТАТИВНЫМ КОЛЬЦОМ
Все кольца операторов, встречающиеся в этом приложении, предполагаются имеющими единичный элемент (но не обязательно коммутативными), а все модули над этими кольцами — унитарными. Так же, как в § 2, одно и то же множество сможет наделяться структурами модуля относительно различных колец операторов. В случае, когда оба множества EuF наделены структурой левого (или правого) A-модуля, коммутативная группа всех А-линейных отображений E в F, во избежание всякой путаницы, обозначается Ха(Е, F). Аналогично Xa(F) означает кольцо всех А-эндоморфизмов модуля Е.
1. Тензорное произведение двух модулей
Пусть А — кольцо, Е — правый Л-модуль и F — левый Л-мо-дуль. Рассмотрим Z-модуль С = Z(ExF) формальных линейных комбинаций элементов произведения ExF с коэффициентами из кольца Z рациональных целых чисел (гл. II, § I, Ti0 8); таким образом, модуль С имеет базис, образованный всевозможными нарами (х, у), где х?Е и y?F. Пусть D — подгруппа коммутативной группы С. порожденная элементами следующих типов:
где х, Xi, х„ принадлежат Е, у, ух, у2 принадлежат F и А.6Л.
