Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бурбаки Н. -> "Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра " -> 187

Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.

Бурбаки Н. Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра — М.: Физ-мат литературы, 1962. — 515 c.
Скачать (прямая ссылка): algebraicheskiestrukturi1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 181 182 183 184 185 186 < 187 > 188 189 190 191 192 193 .. 201 >> Следующая


С другой стороны, в то время как математики проявляли тенденцию несколько пренебрежительного отношения к уравнениям первой степени, ре шение дифференциальных уравнений представляло, напротив, главную задачу; естественно, что среди этих уравнений уже очень рано выделили линейны< уравнения с постоянными или переменными коэффициентами и что их изучение способствовало выявлению значения линейности и всего с ней связанного. Это заметно уже у Лагранжа (1X6) и Эйлера (VIII6), по крайней мере в том, что касается однородных уравнений; ибо эти авторы не считают нужным сказать, что общее решение неоднородного уравнения есть сумма частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнении, и не делают из этого принципа никакого употребления; отметим также, что. утверждая, что общее решение однородного линейного уравнения п-го порядка есть линейная комбинация п частных решений, они не добавляют, что эти решения должны быть липейно независимыми, и не делают никаких попыток к выяснению этого последнего понятия; ясность в эти вопросы, как и в ряд других, внесли, по-видимому, лишь лекции Коши в Политехнической школе ((XIV), стр. 573—574). Ho уже Лагранж (там же) вводит также (правда, лишь для вычислительных целей и без наименования) уравнение L*(y) = (і.

*) В русской литературе — аффинность,— Перее.
486

ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ II И III

сопряженное к линейному дифференциальному уравнению L(y) = 0,— типичный пример двойственности в силу соотношения

:праведлииого для у и z, обращающихся в нуль на концах интервала интегрирования; еще точнее, мы видим здесь, за 30 лет до того, как Гаусс явно определил подстановку, сопряженную к линейной подстановке трех переменных, цесомненно периый пример «функционального оператора»L*, «сопряженного» к оператору L, заданного посредством билинейной функции (здесь интеграла \yz dx).

В то же время, и снова с Лагранжем (1Хв), линейные подстановки, прежде всего двух и трех переменных, сумели завоевать арифметику. Ясно, что множество значений функции F (х, у), где х и у принимают все целые значения, ае изменяется, когда х и у подвергаются произвольной линейной подстановке с целыми коэффициентами и определителем, равным 1; на этом фундаментальном замечании Лагранж основывает теорию представления чисел формами и приведения форм, а Гаусс одним шагом, всю дерзость которого нам стало трудно теперь оценить, выделяет понятия эквивалентности и класса форм (см. Исторический очерк к главе I); в этой связи он уясняет необходимость аекоторых элементарных принципов, относящихся к линейным подстановкам, а, в частности, вводит понятие транспонированной, или сопряженной подстановки ((XIIa), стр. 304), Начиная с этого момента арифметическое и алгебраическое исследование квадратичных форм от двух, трех, а позже п переменных, тесно связанных с ними билинейных форм, а в более близкий нам период обобщение этих понятий на бесконечное число переменных образуют, вплоть до нашего времени, один из наиболее плодотворных источников прогресса линейной алгебры (см. Исторический очерк к главе IX).

Ho, что является, быть может, еще более решительным прогрессом, в тех ;ке «Исследованиях» (см. Исторический очерк к главе I) Гаусс создает теорию конечных коммутативных групп, встречающихся там в четырех различных видах, а именно: аддитивной группы целых чисел по (целому) модулю т, мультипликативной группы чисел, взаимно простых с т, по модулю т, группы классов бинарных квадратичных форм и, наконец, мультипликативной группы корней т-й степени из единицы; причем, как мы уже отмечали, Гаусс явно трактует все эти группы как коммутативные группы, или, лучше сказать, модули над Z, изучает их строение, их отношения изоморфизма и т. д. На модуле «целых комплексных чисел» a -j- Ы он исследует позже бесконечный модуль над Z, изоморфизм которого с (открытым им же в комплексной области) модулем периодов эллиптических функций, несомненно, не остался для него незамеченным; во всяком случае, эта идея уже явно появляется у Якоби, например в его знаменитом доказательстве невозможности функции с тремя периодами и в его взглядах на задачу обращения абелевых интегралов (XVI6), и вскоре приводит к теоремам Кронекера (см. Исторический очерк к главе VII «Общей топологии»).
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ Il И IJJ

487

Здесь к течениям, трассы, а иногда и извилины которых мы пытались проследить, примешалось еще одно, долгое время остававшееся подспудным. Как будет подробнее изложено в другом месте (см. Исторический очерк к главе IX), «чистая» геометрия в том смысле, как ее понимали в течение прошлого века, т. е. в основном проективная геометрия плоскости и пространства без использования координат, была создана в XVII веке Деааргом (VI), идеи которого, оцененные в их истинном значении самим Ферма и использованные самим Паскалем, были затем забыты, отодвинутые в тень блестящими успехами аналитической геометрии; она вновь попала в честь к концу XVIII века стараниями Монжа, а затем Понселе и его соперников Шаля и Брианшона иногда умышленно и полностью очищенная от аналитических методов, иногда (особенно в Германии) тесно переплетенная с ними. Ho, с какой бы точки зрения их ни рассматривать (синтетической или аналитической), проективные преобразования все же являются просто линейными подстановками проективных или «барицентрических» координат; конические сечения (в XVII веке), а позже поверхности второго порядка, проективная теория которых долгое время составляла основной предмет исследований этой школы, являются просто квадратичными формами, на тесную связь которых с линейной алгеброй мы уже выше указывали. К этим понятиям присоединяется понятие полярности; теория полюсов и поляр, также созданная Дезаргом, становится в руках Монжа и его последователей, вскоре под наименованием принципа двойственности, мощным инструментом преобразования геометрических теорем; если и не брать на себя смелость утверждать, что были замечены ее связи с сопряженными дифференциальными уравнениями,— это было сделано с опозданием (они были указаны Пинкерле в конце XIX века),— все же от математиков не укрылось — тому свидетель Шаль (XVII) — ее родство с понятием полярных сферических треугольников, введенным в сферическую геометрию Вьета ((III), стр. 418) и Снеллием в XVI веке. Ho двойственность в проективной геометрии есть лишь один из аспектов двойственности векторных пространств с учетом модификаций, накладываемых переходом от аффиппого пространства к проективному (являющемуся его факторпрост-ранством по отношению «скалярного умножения»),
Предыдущая << 1 .. 181 182 183 184 185 186 < 187 > 188 189 190 191 192 193 .. 201 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed