Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
g (a (xQy)) = g((xa)Qy)=f(xa, y) = af(x, y) = ag(xQy),
то g 4-линейно. Поэтому существует (§ 1, предложение 3)
4-изоморфизм модуля EQaF на 4-модуль, обозначенный в определении 3 § 1 через EQF, преобразующий x<Qy (в смысле определения 1) в x(Qy (в смысле, установленном в п° 2 § I). В дальнейшем эти два 4-модуля будут посредством указанного изоморфизма отождествляться.
4. Тензорное произведение с основным кольцом
Пусть E — правый 4-модуль. Так как внешние законы 4-модулей As и Ad перестановочны, то тензорное произведение EQaAs канонически наделимо структурой правого 4-модуля, при которой (а;®Х) |л=;г0(Хр.) для всех х?Е, у?А, р. Є 4. Так как отображение (х, К)—>хК произведения 2?X As в E удовлетворяет условиям (2), то существует (называемое каноническим) Z-линейное отображение g модуля E(QaAs в E такое, что g (X(Q1K)=X1K для всех х ? Е, K^ А; ясно, что g 4-линейно.
Предложение 3. Отображение h: x—>xQ\ правого A-модуля E в EQaAs есть изоморфизм правого А-моду ля E на правый А-моду ль EQaAs; изоморфизм g, обратный к h, определяется условием g (xQK) = хК.
30 н. Бурбаки
466 ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ III
Действительно, очевидно, g°h и hog — соответственно тождественные отображения E и EQaAs на себя; поэтому, в силу своей Л-линейности, g и h являются взаимно обратными изоморфизмами.
Заметим, что если E наделено структурой (левого или правого) Л-модуля, внешний закон которой перестановочен с внешним законом структуры Л-модуля в Е, то g и h являются также взаимно обратными изоморфизмами структур 5-модуля в E к EQaAs.
Пусть теперь F — левый Л-модуль. Аналогичным образом определяются структура левого Л-модуля в Ai1QaF и канонический Л-изоморфизм A^aF на F.
В частности, существует канонический изоморфизм Лс!®аЛ8 на А (для структур левого и правого Л-модулей), преобразующий KQ [і в А41.
.5. Свойства IE Qa I1 по отношению к подмодулям и факт ормодулям
Пусть E — правый Л-модуль, F — левый Л-модуль, М — подмодуль в E и N — подмодуль в F. Рассмотрим канонические отображения
M E Л EiM и JV 4- F 4- F11N.
Отображение iQj (называемое каноническим) вообще не инъек-тивно, так что вообще MQaN не отождествимо с подгруппой группы EQaF (см., однако, п° 6). Ho имеет место следующий результат, доказываемый совершенно так же, как предложение 6 § 1-
ПрEдложение 4. Отображение р Q q группы EQaF в (Е/М) Qa(FIN) сюръективно, и его ядром служит сумма образов групп E Q)a'N и M QaF соответственно при отображениях
1 Qj и І Q 1.
Следствие. Пусть F — левый А-модулъ и а — правый идеал кольца А. Тензорное произведение (Ad!a)gaF канонически изоморфно факторгруппе F/(aF), где мы под aF (допуская вольность) понимаем подгруппу в F, образованную конечными суммами 2
І
в которых lKi^a и y^^F.
6
ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ III
467
Действительно, в силу предложения 4, (Adla)(gAF канонически изоморфно факторгруппе группы Ad <2)а F по каноническому образу группы a ^aF. Поэтому достаточно, на основании предложения 3, канонически отождествить Ad(gAF с F и заметить, что канонический образ группы agAF отождествится тогда с aF.
6. Свойства E F по отношению к прямым суммам
и произведениям
Предложение 5. Пусть E — правый А-модулъ, являющийся прямой суммой семейства (Ех)х?l своих подмодулей, и F — левый А-модулъ, являющийся прямой суммой семейства своих
подмодулей. Тогда для любой пары (X, (i) ?Lx M каноническое отображение Ei^AFtX в Е0лР есть изоморфизм на некоторую подгруппу Gxv группы Е&лР, и Е(у)аР есть прямая сумма этих подгрупп Gxv..
Это предложение доказывается совершенно так же, как предложение 7 § 1.
В условиях предложения 5, Ex&aF^ отождествляется с Gxvi посредством канонического отображения. Если элементы хх^Ех и равны нулю для всех кроме конечного числа индексов,
имеем тогда
(2?) ® (2 2/и) = 2 п ® уц- (6)
X ц X. ц
Следствие. Если F обладает базисом (Ь^)^м, то группа E<gAF
изоморфна группе E^ и каждый элемент из E(gAF представим,
и притом единственным образом, в виде 2 (хц ® где
и.
элементы Xv g E для всех кроме конечного числа индексов равны нулю.
Это доказывается, как следствие 1 предложения 7 § 1, с учетом установленного выше предложения 3.
В условиях следствия предложения 5, допустим, что модуль E также обладает конечным базисом (ах)х?ь- Тогда каждое z?E<gAF представимо, и притом единственным образом, в виде
30*
468 ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ III
2 ((??) ® ^). гДе Dih принадлежат Л, и отображение
X, |х
Z—> (Diix)(XiIX)ELXM ЄСТЬ ИЗОМОрфіІЗМ E gAF на Л(ЬхМ) относительно групповых структур (и даже относительно структур модуля над центром кольца А).
Пусть (Sx)XEL-CeMeiiCTBO правых Л-модулей и (Fv)^m — семейство левых Л-модулей; рассмотрим модули E = [ J Ex и F= [ \ Fil:
XgL н?М
Отображение ((хх), (у ^)) —> (хх g Uv) произведения ExF в коммутативную группу JJ (Ei gA Ffl) удовлетворяет условиям (2)
(X,HOELxAr
предложения 1; поэтому существует, и притом единственное, Z-линейное отображение / группы E ^iaFb [] (Ex^aF11) (назы-
X, IX
