Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
ваемое каноническим) такое, что / ((хх) g (у^)) = (х% g Ijv).
Предложение 6. Если (Ex)x?L — семейство правых векторных пространств над телом А и (і^нем — семейство левых векторных пространств над А, то каноническое отображение
( П Ek)gA{ ПЛх) б п (ExgAFv) инъективно.
X?L нем (X, |X)?ixM
Обозначим через g каноническое отображение Eg AF в ]~1 (E^g AF)
X?L
и через h\ (для каждого Li) — каноническое отображение
ExgAF в [I (ExgAFїї) ; очевидно, / есть композиция отображения g
нем
и отображения (hx) произведения Ц (ExgAF) в П ( П (ExQaFi1))'
X?L XeL н?М
тем самым всё сводится к случаю, когда каждое из множеств L, M состоит из одного элемента. Покажем, например, что g инъективно; пусть (bQ) — базис левого векторного пространства F; тогда каждый элемент из EgА F может быть однозначно представлен в виде S = 2 ((я!0))®bQ); если g(z)=0, то (Xx^gb0) = 0 Q С
для каждого h?L, значит, .rxQ)=0, каковы бы ни были к и Q (следствие предложения 5), и предложение доказано.
При выполнении условий предложения 6 тензорное произведение ([JjEx) ® А (] І ^и) часто отождествляется сего каноническим
X H
7 ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ III 469
образом в П A-^V)- В частности, если F — левое векторное х, и
пространство над телом A, AdQ AF канонически отождествляется с F (п° 4), значит, AafguJF канонически отождествляется с ВЄКТОр-
rL
ным подпространством в г путем отождествления элемента
2 (UiQbi), где ? F и Ui — отображение L в А, с отображением І
X —» 2 Ui (X) bt множества LsF. Точно так же EQaAI1 , где E—пра-І
вое векторное пространство над А, отождествляется с подпространством в Ем. Еще специальней, AaQaAI1 для любого тела А отождествляется с подпространством в Alxm (рассматриваемом одновременно и как левое и как правое векторное пространство над А) путем отождествления каждого элемента 2 (UiQvi),
І
где Ui — отображение L в А и Vi — отображение M в А,
с отображением (X, |х) —> 2 Ui (X) Vi ([х) множества LxM в А.
І
7. Дополнения относительно Xa (E, F)
Пусть E Ti F — два левых или два правых 4-модуля. (В дальнейшем для краткости будет предполагаться, что E ж F — левые
4-модули.) Мы дополним в некоторых отношениях свойства XA(E,F), установленные в главе II. Читатель отметит определенную аналогию между свойствами Ха(Е, F) к EQaF.
Пусть E', F' — левые 4-модули и и: E-^E', v: F—> F' — 4 -линейные отображения. Отнесение каждому элементу/g XA(E,F) элемента v°f°u?XA(E' ,F') устанавливает Z-линейное отображение ХА(Е, F) в ХА(Е', F'). Мы будем обозначать его X (и, v).
Каковы бы ни были и, U1, U2 из Xa (E', Е) и v, V1, и2пяХА (F, F'), имеем
X (H1 + Ui, v) = X (M1, v) + X (и2, v), I X (и, V1 + и2) = X (и, V1) + X (и, v2). J ^
Если Е", F" — левые 4-модули и и': Е"—>Е', v': F' -^F"-
4-линейные отображения, то
X (и О u', V1 О v) = X (u', v') О X (и, v). (8)
Пусть и — эндоморфизм 4-модуля Е. Если 1 — тождественный автоморфизм модуля F, то X (и, 1) есть эндоморфизм
470
ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ III
коммутативной группы Xa(E1F). При этом для любых двух эндоморфизмов M1, U2 модуля Е, согласно (7) и (8), имеем =2? (M1-Hw2, I) = -- X (uv I) + X (и2, 1) и X (U1 о м2, I) = X (и2,1) о X (U1,1). Отсюда, в частности, следует, что если В — кольцо и E наделено структурой левого (соответственно правого) 5-модуля, внешний закон которого перестановочен с внешним законом структуры Л-модуля в Е, то Ха(Е, F) наделимо структурой правого (соответственно, левого) 5-модуля, при которой
(/¦Р) (*) = №)
(соответственно (P-ZMaO = Z(rP))
для всех P б 5, f?XA (E, F), х?Е.
Точно так же, если F наделено структурой левого (соответственно правого) С-модуля, внешний закон которого перестановочен с внешним законом структуры Л-модуля в F, то Xa(E1F) канонически наделимо структурой левого (соответственно правого) С-модуля, при которой
(Y-f) (x) = yf(x)
(соответственно (/ • Y) (%) — 1 (я) У)
для Y б С, /б Xa (E,F),x?E. При этом, если Xa (Е, F) одновременно наделено так структурами 5-модуля и С-модуля, то внешние законы этих двух структур, в силу предыдущих формул, перестановочны. В частности, если Г — центр кольца Л, мы вновь получаем так, двумя различными способами, структуру Г-модуля в Ха(Е, F), определенную в n° 1 § 2 главы II.
Пусть E' и /’' — левые Л-модули, и: E' —> E и v: F —> F' — Л-линейные отображения. Если E ж E' наделены структурами (скажем, левого) 5-модуля, внешние законы которых соответственно перестановочны с внешними законами структур Л-модуля, и если и 5-линейно, то X (и, v) В-линейно. Действительно, если huh' означают эндоморфизмы модулей E и E', порожденные одним и тем же элементом Tq1 в силу предположения,
h°u=uoh' и, значит,
X (и, v)oX(h, 1F) = X (hoи, v) = X(u°h', v) = X(hf,iF’)oX (и, v),
где 1 р и 1F' означают соответственно тождественные автоморфизмы модулей F и F'. Так как X (h, 1^) и X (h', If')- эндоморфизмы,
8
ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ III
471
порожденные элементом р соответственно в ХА(Е, F) и X л (E', F'), то наше утверждение тем самым доказано. Точно так же, если F и F' наделены структурами С-модуля, внешние законы которых перестановочны с внешними законами структур Л-модуля, и если V С-линейно, то X (и, у) С-линейно.
