Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Следствие. Каждый (п—1)-вектор над п-мерным векторным пространством E разложим.
Достаточно применить предложение 7, поменяв в нем ролями E и Е* и приняв P=1 (см. упражнение 7).
Пусть E — (л+1)-мерное векторное пространство над полем К,
V-г I
Е* — сопряженное пространство, F — пространство Д E и F1 —
п—р
пространство Д Е*\ каноническое отображение ср пространства F
n-f 1
на F' (относительно базиса е' в Д E*) дает при факторизации проективную биекцию ф пространства P (F) на P (F'), которая, на основании
п+1
сказанного в п° 5, не зависит от выбора базиса е' в Д?* и называется канонической. Ее сужение на грассманиан Gptl(E) (§ 7) является [биекцией на С„_р (Е*), относящей каждому/>-мерному проективному линейному многообразию n(F) из P (E) (гл. II, Приложение III, п° 3)
(п—р—1)-мерное проективное линейное многообразие Jt(Fc) в P (Е*), где F0 означает подпространство пространства E*, ортогональное
к V (предложение 7).
ДВОЙСТВЕНJlOCTb ДЛЯ ВНЕШНЕЙ АЛГЕБРЫ
451
У и р а ж н е н и я. 1) Пусть E — модуль, обладающий коиеч ним базисом, состоящим им н элементов, X — р-иектор над E і: х' — (/>4- </)-форма на х канонически отождествим (? 5, предложение 6} с результатом Uxi антисимметрирования контравариаитного тензора X1 /i-го порядка, а х' — с антисимметрированным ковариантным тензором (р '.-д)-то порядка. Показать, что если в смешанном тензоре хух' для каждого к такого, что 1 < к-'р, свернуть /,-ІІ контралнрнапт-ный индекс с (р~-к)-м ковариантным, то полученный так конарпант-ный тензор ?-1-о порядка также будет антисимметрированным, и притом канонически отождествимым С (/-формой xj. X .
2) Пусть X=X1 Д . . . Д X1, — разложимый /)-вектор над конечномерным векторным пространством являющейся внешним произведением р линейно независимых векторов xf, пусть, далее, у' — д-форма (</чСр) и z — произвольный элемент из Д ¦/’’*. Показать, что
¦Г L- (у' A Zt)=. 2] Qh К {хн> L-
H
где H пробегает множество всех подмножеств интервала [1, р], состоящих нз q элементов, а К означает дополнение к Ы относительно [1, р\. [Взять в E базис, р элементами которого служат х( .J
3) Пусть E — конечномерное векторное пространство их — произвольный элемент пространства Д Е. !Множество V' тех линей-иых форм у' на Е, для которых элемент х 1_ ?/' пространства Д E равен нулю, образует в Е* подпространство. Показать, что подпространство Г в Е, ортогональное к 1 ', есть наименьшее из подпространств W пространства Е, для которых х принадлежит Д W.
'i) Пусть E — модуль, обладающпіі конечным базисом, состоящим из п элементов. Обратным произведением х V у элементов х и у
V
из Д E относительно базиса е модуля Д E называется элемент
(f' (Cf (х) А Ч- (у)), где ср — изоморфизм, соответствующий базису е. Это произведение определено лишь с точностью до обратимого множителя, зависящего от выбранного базиса е. Показать, что если х - р-вектор н у — (/-вектор, то при p-ї q -С п будем иметь X у у ^ О, в противном же случае .і: у у есть (рт q— п)-вектор такой, что у у х—(- I)*"' х у у. Обратное произведение ассоциативно
н дистрибутивно относительно сложения и определяет в Далгебраическую структуру, изоморфную структуре внешней алгебры. Выразить компоненты хуу через компоненты X ж у.
5) Пусть E — «-мерное векторное пространство, х — разложимый р-вектор, у — разложимый (/-вектор и V (соответственно W) — подпространство в Е, определяемое р-вектором X (соответственно (/-век-
29*
ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. III, § 8
тором у). Для того чтобы Г-і W-=E, необходимо и достаточно, чтобы xV у Ф 0; тогда (р-\- q — «)-вектор х Vy разложим и определяет векторное подпространство V CXW.
*6) Для того чтобы /і-вектор л над n-мерпым векторным пространством E был разложимым, необходимо и достаточно,чтобы z V (z A ?) = 0 для каждого разложимого (п — р — 1)-вектора х. [Для установления достаточности условия применить его, взяв в качестве х внешние произведения п — р — 1 векторов базиса, и вывести существование п — р линейно пезависимых линейных форм и[ (1 і <; п — р)
на E таких, что <p(z) A Wi = O.]
7) а) Дать прямое доказательство (без использования изоморфизмов фр) разложимости каждого (п — 1)-вектора над /г-мерным векторным пространством.
б) Пусть А — коммутативная алгебра над полем К, обладающая базисом, образованным единичным элементом 1 и тремя элементами Cu Ci, с3, все попарные произведения которых равны нулю. Пусть, далее, E — Л-модуль A3 и (єі)і5:і<з —его канонический базис. Показать, что бивектор
(е3 А е3) + с3(е3 Д е1)~}-с3(е1 А е2)
неразложим.
8) Пусть E — Л-модуль, обладающий конечным базисом, состоящим из п > 1 элементов. Показать, что каждое линейное отображение
р п—р п—р P
ф модуля Д E в ДЯ* такое, что (д и ) о т|з = т|) о (д и) для каждого автоморфизма и модуля E с определителем, равным 1, являетси одним из изоморфизмов фр, определенных в и0 5. [Рассуждать, как в упражнении 12 § 5.] Вывести отсюда, что если в А существуют
р
обратимые элементы ф 1, то не существует изоморфизма Д E на
