Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
П
^ aSjij=PiLn (ICiOO-
’=1
*5) Пусть EnF — модули над коммутативным кольцом А, обладающие копечными базисами, состоящими соответственно из то и и элементов, и — линейное отображение E в F и X — его матрица относительно произвольных базисов в E и F.
а) Если т п и существует обратимый минор п-то порядка матрицы X, то и есть отображение E на F.
б) Показать, что если, обратно, и есть отображение E на F, то гп .S- п и в X существует ненулевой минор n-го порядка. Если, кроме того, идеал кольца А, порождаемый необратимыми элементами этого кольца, отличен от А, то в X существует обратимый минор и-го порядка.
Tl
!Рассмотреть внешнюю степень Д и.]
в) Пусть В — коммутативное кольцо с единицей и А — кольцо HXB (гл. I, § 8, п° 10). Привести пример такого линейного отображения А -модуля A1 на модуль А, чтобы все элементы его матрицы (относительно канонических базисов модулей A2 и А) были делителями нуля.
6) Пусть и и V — разложимые ^-векторы над векторным пространством Е. Для разложимости />-Ш‘Ктора и-} v необходимо и доста-
28*
436
ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. III, § 8
точно, чтобы пересечение подпространств, определяемых соответственно р-векторами и и г, имело размерность ^p— 1.
7) Пусть Z-^’a HeJt —ненулевой разложимым р-вектор над
H
пекторным прос ранством Е, выраженный через свои компоненты относительно произвольного базиса (е{)кі<я этого пространства; С — множество р элементов интервала [1, «] такое, что ао=#=0; |і(,)1<к - последовательность, полученная путем расположения индексов из G в возрастающем порядке, и (ik)\ch<.n—p— последовательность, полученная путем расположения в возрастающем порядке индексов дополнения G' к G относительно [1, «]. Пусть, далее, Pjlfc для любой пары (/г, к) индексов таких, что I <_ А 1 <. к <. п -р, есть компонента ан />-вектора z, соответствующая множеству
II CZ [ 1, я), образованному р — 1 индексами из G, отличными от щ, И индексом II X — Матрица ф/i/t) ИЗ р строк и Il — р столбцов. Пусть, наконец, L — произвольное множество р элементов интервала [1, п\ такое, что L Г] СG содержит q > 1 элементов. Показать, что (Ufl)" lCt^ равно минору q-rо порядка матрицы X, образованному отроками с индексами h, для которых г/, € G Г| CL, и столбцами с индексами к, для которых Ik^L Г) CG. [Записать, что z имеет вид dG2/i Д • • • А Урі ГД° векторы у і таковы, что в матрице Ymn строк и р столбцов, столбцы которой образованы компонентами этих векторов, подматрица, составленная из строк, индексы которых принадлежат G, является единичной матрицей p-то порядка.]
8) Показать, что коммутант линейной группы GLn (К) обратимых квадратных матриц «-го порядка над полем К совпадает с группой матриц, определитель которых равен 1, за исключением того случая, когда «=2, а К есть поле Z/(2) из двух элементов. [Cm. гл. II, 5 6. упражнение 9.]
§ 8. Двойственность для внешней алгебры
Всюду, где не оговорено противное, модули, рассматриваемые 'і настоящем параграфе, — это унитарные модули (над коммутативным кольцом), имеющие конечный базис.
I. Знакопеременные линейные формы и антисимме-трированные ковариантные тензоры
Пусть E — унитарный Л-модуль с конечным базисом. Как мы
V
недели (§ 1, П°П° 5 II 7), модуль, сопряженный к модулю коптравариантных тензоров p-то порядка над E, канонически
1 ДВОЙСТВЕННОСТЬ ДЛЯ ВНЕШНЕЙ АЛГЕБРЫ 437
V
отождествим с модулелі (^) Е* ковариантных тензоров р-го поря;и над Е, так что по отождествлении каноническая билинейная форма
V V
(2, г') (гл. II, § 4, D0 1) на (g) Е) X (g) E*) определяется соотношением
(... Xp, X1 &) ... (^) Xp) ~ (Xi, (Xp, ) , ( 1 /
каковы бы ни были Xi^E и х\?Е*. Каждый ковариантный тен-р
зор z' ?(g Е* отождествляется так с линейной формой г —> (г, с
V
яа (^) Е.
р
Исследуем, с какой линейной формой на gE отождествляется тензор os' (§ 5, п° 1), где а — произвольная подстановка из ©;. Заметим для этого, что имеет место тождество
(az, az') = (z, z'); (2;
по линейности достаточно доказать его для разложимых тензоров г = X1 ® . . . 0 хр и z' = х[ ® . . . Cg) Хр; но в этом случае левая
V
часть формулы (2), по определению, равна}} (х0-ці), х'а-щ)); в силу
І=1
же коммутативности А, это выражение равно оравой части Формулы (1) и тем самым равно (z, z').
Заменив теперь в (2) 2 на CT1Z, получим
(z, az') = (O-1Z, z'). (3)
Иными словами, в силу формулы (4) § 5, линейная форма, с которой отождествляется тензор az , получается путем применения к линейной форме, отождествляемой с z', оператора а в соответ-
V
ствпи с определением внешнего закона (a, g) —>og на =? (gE. F) (§ 5, н° 1).
Из тождества (3), умножая обе его части на є0 = e0-i и суммируй но а, получаем
(z, az') = (az, z'). (4;
v
Иными словами, линейная форма на gE, отождествляема;! с результатом антисимметрирования ковариантного тензора z', есть не что нное, как результат антисимметрировання линейной формы, отождествляемой с z'.
438 полилинейная алгебра гл. ш, § 8
У. Модуль, сопряженный к внешней степени
