Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
х J' и (х') = tU (и (х) J х'). (18)
Действительно, отображение х’—>xJ {и(х') есть композиция отображений tU и у'—> х J у', сопряженных соответственно к отображениям и и z—i>z/\x, и, значит, является сопряженным к отображению z—>u(z/\ X) (гл. II, §4, формула (15)); но так как и есть представление кольца Д E в кольцо Д F (§ 5, п° 9), то и (z Д х) =
— u{z) Дм(ж); вновь применяя формулу, дающую сопряженное к композиции двух линейных отображений, получаем (18). В случае, когда и есть автоморфизм модуля Е, заменяя в (18) х па
и (X ), получим требуемую формулу (17).
Рассмотрим теперь для произвольного элемента х ? Д Е* эндоморфизм z'—*x Az' модуля [\Е* (левую гомотетию кольца Дії*). Сопряженное к нему отображение есть эндоморфизм модуля /\Е.
Определение 2. Правым внутренним произведением х L х' элемента ? 6 Д E и элемента ж' ? Д Е* называется значение, принимаемое в х отображением, сопряженным к эндоморфизму z'—>х'A z' модуля /\Е*.
Таким образом, имеем тождественно
(х L х', z') = (х, х A %')• (19)
Так же, как при доказательстве предложения 2, устанавливается, что сложение и внешний закон {х , x)—*xL-x' на ДE определяют в этом множестве структуру правого модуля относительно кольца /\Е*; иными словами, имеет место тождество
X L (х’ а у') = {х L х') L у'. (20)
.5 ДВОЙСТВЕННОСТЬ ДЛЯ ВНЕШНЕЙ АЛГЕГ.РЫ 445
Для любого базиса (е4)|^,-^п модуля E имеем eL L Ct1 = 0. если // Ct L, I
(21)
Cl L с'н = дя, если H CZ L, I
где К означает дополнение к H относительно L. Отсюда, в частности, следует, что если X — р-вектор и х — q-форма, то х L х’ = 0
при р < q и есть (р — д)-вектор при р > q; при р = q снова имеем
JlLz' = (х, х").
Наконец, если «. — линейное отображение EbFn и —его каноническое продолжение паД?\ то тождественно
и (х) L х' — и (х L 'и (х')), (22)
м. в частности, если и — автоморфизм модуля Е, то
и (X) L и (х1) — и (xl- x'). (23)
.5. Канонгіческие изоморфизмы р-векторов и (п — р)-форм
Пусть Е — модуль, обладающий базисом, состоящим из п эле-
Tl
ментов; как мы знаем (§ 5. теорема 2), внешняя степень /\Е имеет базис, образованный единственным элементом.
П
Предложение 4. Пусть е— элемент из /\Е, образующий базис
П
.того модуля, и е’ — элемент из Д E*, образующий базис,
¦сопряженный к е. Тогда отображение х— >х J е' есть изоморфизм ф
р п—р
модуля /\Е на модуль Д E*, отображающий /\Е на Д Е* для каждого р (0 ¦< р < п); изоморфизмом, обратным к ф, являет,ся. отображение х' —> е L х'.
BE имеется базис (ej)i<isn такой , что е — ег Д . . . Дея, откуда =ЄЇА- -ЛЄп, где (е;) —базис, сопряженный к (е4); поэтому, согласно формулам (16). для каждого HCl [1, п\ имеем
fP (гн) — QirtHeH', (24)
где Н’ — дополнение к і? в [1,га]. Эти формулы показывают, что ф
V п -р
есть изоморфизм Д E на Д Е* и отображает Д E на Д Е* (гл. II,
§ 2, п° 3). Точно так же, если Tjj означает отображение х —>е\-х',
446 ПОЛИЛИІІЕЙНЛЯ АЛГЕБРА ГЛ. III, § 8-
формулы (21) дают
4‘(Or) -- Qir neU' (25)
откуда явствует, что 4 есть изоморфизм, обратный к ф (поскольку
—і
Qh',н равно 1 или —1); мы будем в дальнейшем обозначать его ф.
р р
Сужение ф на подмодуль Д Е, являющееся изоморфизмом Д Е.
п—р
на Д E*, мы обозначим фр, а изоморфизм, обратный к фр,будет -і
обозначаться ф .
П
Изоморфизм ф зависит от выбранного в Д E базиса е; но всякий другой базис этого модуля получается умножением е на»
обратимый элемент кольца А; следовательно, изоморфизмы ф,.
П
соответствующие различным базисам для Д Е, совпадают с точностью до обратимого множителя. При заданном базисе е модуля
Tl
Д E мы будем называть изоморфизм ф (соответственно каждое
-I -і
из его сужений фр) и обратный изоморфизм ф (соответственно фр) каноническими изоморфизмами /\Е на /\Е* и /\Е* на /\Е (соот-
р п—р п—р р
ветственно /\Е на Д Е* и Д Е* на ДЕ), соответствующими,
базису е.
Можно показать (упражнение 8), что вообще не существует изоморфизма, который зависел бы лишь от структуры модуля в E (Теор. мн., гл. IV, Приложепие) (см. упражнение 12). В главе IX будут рас-
р п — р
смотрены некоторые изоморфизмы Д E на Д Е, связанные с теорией, билинейных форм.
Формула (14) при х = е' дает
(z, ф(ж)) = <2 А х, ё).
Если х-р-вектор и z — (п — р)-вектор, то z Ах — м, где X — скаляр, откуда (zАх,ё) = X и, следовательно,
(:, (Pp(I))C = ZAs:. (26>
о двойственность для внешней алгебры 447
Таким же образом для р-формы х и (п—р)-формы z' получаем из (19) формулу
( Фн-іД^'). z')e' = x'hz'. (27),
Заменим теперь в тождестве (15) х' на е'; мы получим Ц> (хАу) = х -J(p(y) или, заменяя ср (у) на х .
-1
х J X1 = ф (х А ф (ж')). (28)
Таким же образом из (20) получим
-і
xL. х'= ц)((р (х) Ax'). (29)
Формулы (28) и (29) сводят с помощью изоморфизма ф внутренние произведения к внешним.
Отображение, сопряженное к фр, являющееся изоморфизмом,
п — Р P
Д E наД?*, для каждого р (О^р^п) равно (— 1)р(п_р)ф„_р; в самом деле, для каждого р-вектора х и каждого (п — р)-вектора с имеем (гл. II, § 4, формула (12)) (х, 'фр (z)} = (z, фр (х))\ поэтому, в силу (26) и формулы (12) § 5,
