Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
(х, 'фр (z)) е = z А ж = (- i)p(n~p)xAz = ( - 1)р(п~р) (х, срп_р (г)),
откуда
Заметим, что для каждого целого р число — р2 имеет ту же четность, что и р\ поэтому
(_1)Р(«-Р) = ( 1 )_ (_ 1 )(«—р) (п-г 1) _
Каждое линейное отображение v модуля Д E в модуль G может п р
быть записано в виде v— V ц{), где vv — сужение v на Д E (0<р<н); Ji=O
П
положим Tjy= ^ ( — 1)?; г) есть оператор на множестве Jf (ДЯ, G),
P=O
имеющий своим квадратом нейтральный оператор. При этих соглашениях из предыдущего и формулы (13) вытекает, что отображение. сопряженное к каноническому изоморфизму ф, задается формулой
'ф =т]п+1ф.
448
ПОЛИЛППИЙНАЯ алгі;бра
ГЛ. Ill,
Наконец, имеет место следующее предложение:
Предложение 5. Пусть и — автоморфизм модуля E и и — его каноническое продолжение на Д Е. Автоморфизм, контрагредиент-ный к и, задается формулой
2L _ - 1
и = (det м)'1 -ср о м о ф. (30)
Предположим сначала лишь что и есть эндоморфизм модуля Е. и применим формулу (18) с заменой х' «.-вектором е'; до определению определителя, имеем lu (e') = (det 1и)-е' = (dctu)-e' (§ (’>. предложение 4); это показывает, что
(det и) - ср (.г) — ‘и (ф (и (х))).
или
(del и)-ф = 'и °фои, (31)
откуда и следует (30), когда и — автоморфизм.
Замеча ние. В случае, когда A = det. и обратим, из (31) выте-
-1
кпет, что и—- A-Vp1 о iUn^ о фх есть эндоморфизм модуля E такой, что и о ц — тождественное отображение E на себя. С другой стороны, заменяя в (22) х на е, получаем для каждого эндоморфизма и модуля Г. формулу, аналогичную (31):
-і _ -1 _
(det и)-ф = и о ф о tU.
откуда вытекает (в предположении обратимости Д), что и о v также есть тождественное отображение E на себя и, следовательно, и является
автоморфизмом модуля Е. Иными словами, атим способом получается
новое доказательство теоремы 2 § 6, равно как и выражение для обратной матрицы через транспонированную к взаимной матрице (§ 6, п° 5).
6\ Истолкование внутренних произведений uati вен торным и прос транств ам и
Правое внутреннее произведение xLx' допускает простої' истолконание в случае, когда E есть векторное пространство над полем С, а х— ненулевой разложимый р-вектор. Действительно, пусть V — р-мерное подпространство в E1 определяемое р-вектором х (§ 7, п° 3); как мы видели (§ 5, п° 9), векторное пространство Д V канонически отождествимо с подпространством про-
в
ДВОЙСТВЕННОСТЬ для ВНЕШНЕЙ алгебры
449
странства Д Е, порожденным единичным элементом из С и г-векторами г/j А ... А ут, где г изменяется от 1 до п, а г/,- пробегают V. Тогда сужение на Д F произвольной линейной формы :'Z/\E*, определенной паДІ?, есть линейная форма на Д К, и каждая линейная форма на Д F может быть получена таким способом (гл. II, § 4, предложение 5). Теперь, имеет место следующее предложение:
Предложение 6. Пусть E — векторное пространство конечной размерности п, х — ненулевой разложимый р-вектор над EuV — определяемое им в E р-мерное подпространство. Для каждой определенной на Д E линейной формы х' внутреннее произведение х1-х' есть элемент подпространства f\V пространства ДЕ\ при этом сужение на ДУ линейной формы х' соответствует элементу iLi' при каноническом изоморфизме Д V на Д V*
V
(п° 5) относительно базиса х пространства Д V.
Действительно, выберем в E базис (е4) такой, что х=ег/\... Д ер; достаточно доказать справедливость предложения для х —е'ц (где H — произвольное подмножество интервала [1, гс]); но, так как x=eL, где L= она непосредственно следует из фор-
мул (21) и формулы (24), примененных к векторному пространству V.
Следствие 1. Для того чтобы сужение линейной формы х' на Д F было тождественно нулевым, необходимо и достаточно, чтобы х L.x'=0.
Согласно (29), эквивалентным условием является ср (я) Д z'=0.
Следствие 2. Пусть х—ненулевой разложимый р-вектор над Е,
V — определяемое им в E р-мерное подпространство, х' — ненулевая разложимая q-форма на E, W' — определяемое ею в Е* q-мерное подпространство и W — (п— q)-мерное подпространство в Е, ортогональное к W'. Тогда х\—х при q < р есть разложимый (р—q)-eeKmop, равный нулю, если dim(Ff] W) >р— q, и определяющий подпространство Vf]W в противном случае.
Действительно, пусть U=Vf]W, и предположим, что U /•-мерно; в таком случае всегда можно предполагать, что е1} ..., е,
29 H Курбаки
4Г)0 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. III, § 8
образуют его базис, а ер+1, ..., ep+n_t_r—базис дополнения к U относительно W; тогда х есть скалярное кратное е'ц, где H — объединение интервалов [г+1, р] и [р+ге—q—#—f-1, re], и справедливость утверждения следствия вытекает из формул (21).
Аналогичные предложения имеют место, если поменять ролями E и Е* и заменить правое внутреннее произведение левым. Сформулировать их мы вообще предоставим читателю; частный случай аналога следствия 2 предложения 6, относящийся к произведению х Je' = <p(,z), где х — разложимый р-вектор, дает следующее предложение:
Предложение 7. Пусть E — векторное пространство конечной размерности ге; если х — ненулевой разложимый р-вектор над E, то ср (х) — ненулевая разложимая (ге—р)-форма; если V — подпространство в E, определяемое этим р-вектором х (§ 7, п° 3), то подпространством в Е*, определяемым ср (х), является подпространство, ортогональное к V.
