Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
= (и (?) A--Au (Xp), IJ1 А ¦ ¦ ¦ А у'р), откуда, согласно (6),
(¦г,ЇЛ . . . Дгхр, v(y[ А ¦ ¦ ¦ А ?/р)> =
= det’((M(a-i), у))) = det. ((Xj, 'и (у-))) =
= (X1 А ... Д хр, ‘и (у\) A- -AtU (ур)), а это и показывает, что
'(Л и) = A('w)- (1 }
Следствие. Если и — автоморфизм модуля Е, то автоморфизм
P V
модуля /\Е*, контрагредиентный к автоморфизму Д и, совпа-
р
дает с р-й внешней степенью j\u автоморфизма и, контрагре-диентного к и.
Это сразу следует из установленной только что формулы (И) н формулы (8) § 5.
р р
Таким образом, для всех х ? Д E и х ? Д Е* имеем
(А м (я). А и (х')) = (z. х')- ^12)
3. Модуль, сопряженный и Д E
В дальнейшем в множествах Д E и Д E*, определенных в п° 9 § 5, будут одновременно рассматриваться, с одной стороны, их структура A-модуля, а с другой, их структура кольца — две структуры, которые надо будет тщательно различать.
А-модулъ j\E есть, по определению, прямая сумма п + I моду-р
лей Д E (0 <р< п), где п — число элементов базиса модуля Е\ следовательно (гл. II, § 4, предложение 5), модуль, сопряженный к ДЕ, есть Л-модуль, изоморфный прямой сумме модулей.
442
ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. III, § 8
P
сопряженных к модулям Д?\ т. е. (теорема 1)— прямой сумме
п + 1 модулей [\Е* (О <р< п), или A-модулю f\E*. Говоря точно (гл. II, § 4, п° 3), мы будем канонически отождествлять /\Е* с модулем, сопряженным к Д?, так, что каноническая билинейная форма (х, х') на (Д#) X (ДE*) будет определяться формулой
Если (Ci)^iJgn-базис модуля E и (бі)i— сопряженпый базис в E*, то нз формул (7) и (13) следует, что (ен) и (е'н) являются сопряженными базисами соответственно для /\Е и ДE*, где H пробегает теперь множество всех подмножестн интервала [ 1, /г]. Можно также сказать, что первая из формул (7) справедлива и без предположения, что И н К имеют одинаковое число элементов.
Для каждого линейного отображения и модуля E в модуль F .мы определили (§ 5, п° 9) его каноническое продолжение и па ДЕ
(как отображение, совпадающее на каждом Д ? с Д н), Формула (11) показывает, что отображение, сопряженное к и, есть не что иное, как каноническое продолжение отображения tU на Д Е*.
Внутренние произведения р-вектора и q-формы
Для каждого элемента х?/\Е отображение z—> г Д і есть эндоморфизм структуры А -модуля в Д К (правая гомотетия кольца Д Е). Поэтому сопряженное отображение есть эндоморфизм модуля /\Е*.
Определение 1. Левым внутренним произведением х J х' элемента х?/\Е и элемента х'?/\Е* называст.ся значение, принимаемое в х отображением, сопряженным к эндоморфизму z —> г Д і модуля Д E.
Согласно определению сопряженного линейного отображения (гл. I!, § 4, формула (12)), для всех х?/\Е, х'?/\Е* и z?/\E
р
п Tl п р р
имеем
(z, х J х') = (Z Д х, г/).
(14)
4
ДВОЙСТВЕННОСТЬ ДЛЯ ВНЕШНЕЙ алгебры
443
Предложение 2. Сложение и внешний закон композиции (х, х')—> —> х _\х' на Д Е* определяют в этом множестве структуру левого модуля относительно кольца Д Е.
Действительно, из (14) следует, что отображение (х, х') —
— х_\х' билинейно (относительно структур А -модуля в Д? и Д E*); тем самым все сводится к доказательству тождества (х А у) J х' = х J (у J х') (15)
относительно х?/\Е, у?/\Е, х'?/\Е*. Ho в правой его части стоит значение, принимаемое в х композицией эндоморфизма, сопряженного К Z —> Z A X1 и эндоморфизма, сопряженного и г —> zfty; эта композиция есть не что иное (гл. II, § 4, формула (15)), как отображение, сопряженное к композиции с —> (z А х) А У этих эндоморфизмов, т. е., вследствие ассоциативности умножения в кольце f\E,— к эндоморфизму z —> z/\(х/\у); а отсюда и вытекает формула (15).
Пусть базис модуля Е\ как билинейная функция от
(х, х'), произведение х_\х' для любых X g Д E и X g Д Е* определяется значениями произведений e# J e'L, где H и L- произвольные подмножества интервала [1, п\. Ho согласно формулам (14) § 5, матрица (jil, к) эндоморфизма z—> z/\ен модуля ДE относительно базиса (ек) задается соотношениями |iL, к = 0, если К\~]Н Ф0 или К QH = 0 и L Ф К [J H, и jILrK=zQx, и, если К [~| H = 0
и L-~K\JH (напомним, что Qk,н — (—^)V> гДе v—число тех пар (г, у),
в которых і ? К, і?ІІ и j < г). Так как матрица эндоморфизма х'—^ен-\х' есть матрица, транспонированная к ([.їх,я), то мы видим, что
сн J e'L = 0. если H Qt L, J
ен c'l = Qk, HeKi если H CZ L, ( ^
где К означает дополнение к II относительно L.
Эти формулы показывают, в частности, что если х есть р-вектор
V я
(элемент из Д Е), а х — q-форма, (элемент из Д E*), то внутреннее произведение х J х равно нулю при р > q и является (q — р)-формой при р<СЯ- При P=lcI-, как показывает сравнение формул (16) и (7), х J х = (х, х).
444
ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. III, § Ь-
Предложение 3. Пусть и— автоморфизм модуля E и и— его каноническое продолжение на Д Е. Каковы бы ни были ? ? Д E
иж'Є'Л Е*і
и (.т J х') — и (х) J и (х'). (17)
Покажем прежде всего, что для канонического продолжения и любого линейного отображения и .модуля E в модуль F имеет место равенство
