Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Покажем, что
det X = (det У) (dot Z). (14)
Пусть h — порядок матрицы У; столбцы X1, х2, ..., а:/, матрицы X принадлежат подмодулю, имеющему базис е1, е,, ..., <7,, и, в силу формулы (3),
X1А ¦ • ¦ Axh = (delY)-e1 А ¦. . А?/,. (15)
С другой стороны, для каждого индекса і > h можно написать Ii=
=х!-\-х”, где х[ — линейная комбинация элементов et, ..., еп, а х" — линейная комбинация элементов е/1+1, еп. В силу (15), для каждого
і > h имеем тогда Xi А • • • А Xjl А *{ = 0, и значит,
X1А • ¦ • A*n = (dety) e1 А ¦ • • A eh А (г»+і А • • • Az*).
Ho так как, по определению detZ,
x'LiA ¦ ¦ ¦ A Xn = (det Z) -?+! А ... Aen,
то мы и получили формулу (14).
Из нее индукцией по р сразу следует, что если X имеет вид кле точной матрицы
/XU X12 ¦ ¦ ¦ Xi р
Y_j ° ^a2 ‘ ‘ ‘
0 0 ... А'рр/
где все матрицы, находящиеся под диагональю, нулевые, то det Z= (det Jf11) (det X22) • •• (detXpp).
5. Выражение для обратной матрицы. Jl рименение к линейным уравненгіям
Пусть A = (CCij) — заданная квадратная матрица re-го порядка над коммутативным кольцом С с единицей; положим р,ч=(—1)г+,’А1* (алгебраическое дополнение элемента аі}-); формулы (10) и (12) допускают следующую запись:
S Pj4Oth = SjfedetА, (16)
г— [
где 6]k—кронекеровский символ; обозначая через В квадратную матрицу (Pij), можно записать соотношение (16) также
в виде
BA = (det A) In. (17)
S ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 423
Рассматривая разложения определителя матрицы А по ее строкам, получим аналогично формулу
^B = (det A)-In. (18)
Принимая во внимание следствие 2 предложения 1, мы видим, таким образом, что справедлива следующая теорема:
Теорема 2. Для того чтобы квадратная матрица над коммутативным кольцом С (с единицей) была обратимой, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был обратимым в С.
Матрица Л = (Alj) есть не что иное, как (п — 1)-я внешняя степень матрицы А. Формулы (17) и (18) показывают, что если А обратима, то обратная к ней матрица получается путем взятия матрицы, транспонированной к А, умножения в этой матрице г'-й строки на (—I)1 и /-го столбца на (—1)* для всех і и / от 1 до п
и, наконец, умножения полученной матрицы на (detЛ)'1 (см. § 8, предложение 5).
Рассмотрим на кольце С систему п линейных уравнений с п неизвестными
2 “і,^ = tU (I<і<п). (19)
І= I
При обычном отождествлении матрицы из одного столбца, образованного элементами Ii (соответственно TJi), с элементом X=(Ii) (соответственно г/=(тц)) из Cn, система (19) записывается также (гл. II, § 6, п° 4) в виде
Ax = у- (20)
Пусть и — эндоморфизм х—> Ax С-модуля Cm; утверждение, что уравнение (20) имеет (по крайней мере одно) решение для каждого у?Сп, равносильно утверждению, что гг есть отобра-
П П
жение модуля E=Cn на себя; тогда и Д и отображает Д на себя;
Tl П
но Д# изоморфно С-модулю С, а Д и есть гомотетия z—> (det 4) 2
Tl
модуля /\Е\ поэтому существует ц. Є С такое, что n.(det4)=l, иными словами, det А обратим в С. Обратно, согласно теореме 2, •обратимость det А в С влечет, что и есть автоморфизм модуля Е. В итоге имеем:
424 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. III, § 6
Предложение 5. Для того чтобы система п линейных уравнений с п неизвестными на коммутативном кольце (с единицей)
обладала по крайней мере одним решением при любых правых
частях, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы этой системы был обратимым; и в этом случае решение системы единственно.
Полагая A=det А, получаем из (17) и (20), что
Ax = By, (21)
т. е.
ASi = І ( - 1)‘+Ч Ayi (1<»<п)
J = 1
или, иначе,
Agi = Ai (l<i<n), (22)
где Ai означает определитель, получающийся из А путем замены его і-го столбца столбцом y=(f]j). Если А обратим, единственное решение системы (19) задается формулами (22), называемыми формулами Крамера. Кроме того, принимая у=0, получаем из (22)
Предложение 6. Если однородная линейная система п уравнений с п неизвестными на коммутативном кольце обладает нет-нулевым решением, то определитель ее матрицы является делителем нуля.
Можно показать, что это необходимое условие также достаточно (% 1, упражнение 2).
Замечание. Формулы Крамера могут быть получены также следующим образом. Обозначим столбцы матрицы А через а% (1 < і < п); тогда система (19) равносильна уравнению
2 а&—у (23*
3-І
на E=Cn. Умножив (внешне) обе части формулы (23) слева на ах А • Anu1, а справа — на аі+1А ... Aan, получим
Ij-Ci1A ... Aan = O1A ... Aai-I Ay Aai^1A ... Aan,
что, в силу формулы (3), равносильно формуле (22).
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
425
Упражнения- і) Если в определителе Д п-го порядка заменить i-й столбец дл*? каждого индекса і суммой всех столбцов с индексами фі, то получатся определитель, равный (—1)Д. Если в Д из і-го столбца Для каждого индекса і вычесть сумму всех столбцов с индексами Ф*-' т0 получится определитель, равный —(п — 2)
2) Пусть 3=del (aij) определитель л-го порядка; для всех і и / от 1 до w — ^ положим
P-
а1> j+i ®i+x* j+i
Доказать, что
а12®13 • • • ain^-
