Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
«П1 ап2 • • ^nn X
Vl г/г • ¦ Уп Z
=д*-2<-
i, j
Показать, что если Д=0, а элементы ai; принадлежат полю, то определитель, стоящий в левой части, является произведением линейной формы от K1, х2, .. .,хп на линейную форму от Jz1, у2, .. .,уп. [Воспользоваться упражнением 11 § 5 и упражнением 6 § 6 главы II.] Привести пример, где этот результат теряет силу, когда кольцо скаляров А не является полем. [Принять за А кольцо Zf(Q) и п равным 2.]
14) Доказать тождество
— ( — I)" 2n’i 2 «!.¦¦«Ч-іві+і.-.в*. І=1
0 1 1 1 1
1 0 а1 + а2 а1 + а3 • • а1 + ап
1 й2 + а1 0 а2~\~а3 ¦ • й2 + ап
1 а3+а1 аЗ~Ьа2 0 • «3“Ьап
1 апЧ~а1 яП+а2 aUjTa 3 • 0
[Использовать упражнение 13.]
§ 7. Определители над полем; разложимые р-векторы над векторным пространством
В этом параграфе рассматриваются лишь конечномерные векторные пространства над полем.
1. Свободные системы разложимых р-вепторов
Теорема 1. Пусть E — векторное пространство конечной размерности п над полем. Для того чтобы р векторов Xi (1 <г<р) образовывали в E свободную систему, необходимо и достаточно, чтобы разложимый р-вектор X1A • ¦ ¦ Axp не равнялся нулю.
Действительно, если векторы Xi образуют зависимую систему,, то один из них равен линейной комбинации других (гл. II, § 3, предложение 1); при его замене этой комбинацией внешнее произведение X1А ••• AXp разлагается в сумму внешних произведений, содержащих каждое два одинаковых множителя и, следовательно, равных нулю.
2 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ НАД ПОЛЕМ; РАЗЛОЖИМЫЕ ^-ВЕКТОРЫ ^29
Если, напротив, Xi образуют свободную систему, то в E существует п—р других векторов, образующих вместе с векторами Xi базис пространства Е\ р-вектор X1A ¦ ¦ ¦ A^p будет тогда (с точ-
р
ностью до знака) элементом соответствующего базиса для Д E (§ 5, n° 6) Hi значит, не равен нулю.
Теорема и ее доказательство непосредственно распространяются на бесконечномерные векторные пространства. По поводу обобщения на модули над кольцом см. упражнение 2.
Предложение 1. Ранг Q (X) матрицы X над полем К равен наибольшему из целых р, для которых в X существует по крайней мере один ненулевой минор р-го порядка.
Действительно, Q(X) есть наибольшее число линейно независимых столбцов матрицы X (гл. II, § 6, п° 7), иными словами (теорема 1), — столбцов, внешнее произведение которых отлично от нуля; но тем самым предложение доказано, поскольку компоненты внешних произведений произвольных р столбцов матрицы
X — это, с точностью до знака, не что иное, как ее миноры р-го порядка (§ 6, п° 3).
Из этого предложения получается новое доказательство теоремы 2 § 6 для частного случая квадратных матриц над полем: как мы знаем (гл. II, § 6, предложение 4), для обратимости такой матрицы необходимо и достаточно, чтобы ее ранг равнялся ее порядку, а в силу предложения 1 для этого в свою очередь необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы не равнялся нулю.
2. Применение определителей к решению линейных
уравнений над полем
Понятие определителя позволяет представить в сжатом виде условия существования решений системы (скалярных) линейных уравнений над полем К и выражение для решений такой системы, когда они существуют.
Рассмотрим систему т линейных уравнений с п неизвестными над К:
430
ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. III, § 7
Матрица А = (аіз) этой системы имеет тем самым т строк и п столбцов. Пусть В — матрица из т строк и га+1 столбцов, полученная путем окаймления А (га + 1)-м столбцом (Pi); как мы знаем (гл. II, § 6, предложение 5), для того чтобы система (1) обладала решением, необходимо и достаточно, чтобы А и В имели одинаковый ранг. Предположим, что А — матрица ранга р (который предложение 1 в принципе позволяет вычислить) и что первые р ее столбцов а4 (1< і<р) образуют свободную систему (чего всегда можно, добиться, подвергнув индексы j надлежащей подстановке); для того чтобы В была матрицей ранга р, необходимо и достаточно^ чтобы столбец у — (Pi) являлся линейной комбинацией столбцов at, иначе говоря (теорема 1), чтобы
G1Л • • • Л S Л У = о,
или еще чтобы все миноры (/?+1)-го порядка в В, столбцы которых имеют индексы 1,2, . . ., р и ге+1, равня.гись нулю.
Допустим, что это условие выполнено и, кроме того, первые р строк матрицы А линейно независимы (чего всегда можно добиться, подвергнув индексы і надлежащей подстановке); тогда множество всех решений системы (1) совпадает с множеством всех решений системы, образованной первыми р уравнениями (1) (гл. II, § 4, теорема 2). Иными словами, можно предполагать, что р — т и, следовательно, га>т; при произвольном задании элементов |,П+Л(1 < п— т) элементы Ii с индексами < т будут определяться системой т уравнений с т неизвестными
т п—т
S aiilj = Pi - S «і, т,іЛт.І, (1 S: 1 < (2>
7 = 1 H= 1
а по предположению определитель А этой системы, являющийся не чем иным, как минором матрицы А, образованным ее первыми т столбцами, отличен от нуля; тем самым система обладает единственным решением, причем оно задается формулами Крамера (§ 6, предложение 5).
