Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Действительно, такой форме соответствует линейная ‘форма на п-й внешней степени G модуля An (§ 5, п° 5); так как G имеет базис, образованный единственным элементом е, то каждая линейная форма на G записывается в виде |е—где А, чем утверждение следствия и доказано.
Заменяя в формуле (3) каждый из столбцов Xi его выраже-
П
нием 2 е^ч и раскрывая внешнее произведение, видим, что
j=i
(det Xye1 Д ... А еп = 2 ?а(1), і • • • 5а(п),пЄа(1) А • • • A ecr(n)i
а
и так как ea(l) A--A Єа(п) = є<т-е1 A--A е„- то получаем, что
det X = det (|^jj) = 2 EcEc(I), 1 . . . |а(п), пі (5)
а
где сумма распространяется на все /г! подстановок а симметрической группы <3П.
Правая часть формулы (5) будет называться полным разложением определителя матрицы X.
Так как кольцо А коммутативно, то для любой пары подстановок сг, т группы имеем
=а(1), 1 • • • ^о(п), n = Ia(Td)), т(1) • • • 5о(т(п)), т(п)-
Беря, в частности, т = ст-1 и замечая, что єа-і=єа, мы видим поэтому также, что
det Х = 2 ®сг5і, ar(i) • • • Sn, сг(п)- (6)
а
Для каждой лары индексов (г, j) положим Tjij- = формулы (5) и (6) показывают, что det (Tjij) = det (Iij); иными словами:
з
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
417
Предложение 4. Определитель матрицы, получающейся путем
транспонирования матрицы X, равен определителю матрицы X.
Это свойство выражают также, говоря, что замена строк столбцами не изменяет значения определителя.
В главе VI будет дано другое доказательство этого предложения, основанное на неприводимости определителя, рассматриваемого как полином от своих элементов.
Следствие. Определитель квадратной матрицы X является знакопеременной полилинейной функцией ее строк.
Чтобы убедиться в этом, достаточно применить предложение 3 к транспонированной матрице iX.
Отсюда вытекают те же следствия, что и из предложения 3, с заменой в формулировках слова «столбец» словом «строка».
Из формулы (6) непосредственно видно, что определитель общей матрицы X п-го порядка над А, рассматриваемый как функция ее п столбцов Xi (1< г< п), является результатом антисимметрирования полилинейной формы
. . . , ^n) ^ (^х» ^i) • • • (хп, еп),
где (е'і) означает базис, сопряженный к каноническому базису Iei) модуля An (см. теорему 1 § 5); рассматриваемый как функция п строк Xх (1< ?< п) матрицы X, ее определитель опять-таки есть результат антисимметрирования той же полилинейной формы в силу предложения 4.
3. Миноры матрицы
Каждой прямоугольной матрице X = (Еяц), множества L, M индексов строк и столбцов которой различны, но имеют одно и то же число элементов п, как мы видели (гл. II, § 6, п° 5), можно несколькими способами поставить в соответствие квадратную матрицу га-го порядка, множеством индексов строк и столбцов которой служит интервал [1, п] Cl N, располагая элементы множества L в последовательность (Xi) и элементы множества М—в последовательность (Jii); соответствующей квадратной матрицей будет матрица (тііз0і^і<п, is^n. где %- = Цц;..
27 Н. Бурбаки
418
ПОЛИЛИНЕЙІІАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. III, I 6
Определение 3. Пусть X — прямоугольная матрица из т строк и п столбцов. Ее минорами р-го порядка (где min (т, п)) называют определители квадратных матриц р-го порядка, полу чающихся из подматриц матрицы X, имеющих р строк и р столбцов.
Различные квадратные матрицы, получающиеся из заданной подматрицы матрицы X, отличаются друг от друга лишь порядком строк и столбцов, а потому их определители с точностью до знака совпадают; тем самым миноры р-го порядка матрицы X определены с точностью до знака. Во всей остающейся части этой главы мы ограничимся тем случаем, когда множеством индексов строк матрицы X=(Iii) служит интервал [1,тга] d N, а множеством индексов столбцов — интервал [1,га]. Пусть тогда H (соответственно К) — подмножество множества индексов [1,7га] (соответственно [1, тг]), состоящее из р элементов, и рассмотрим подматрицу матрицы X, получающуюся путем вычеркивания в X строк с индексами г ? CH и столбцов с индексами / 6 CK; обозначим через Хя, к определитель квадратной матрицы, получающейся из этой подматрицы путем расположения индексов ее строк и столбцов в возрастающую последовательность (ik) (соответственно Qk)); тем самым минор Хя, к определен соотношением
(e^y1 -г • • • + A--A (^1Syp -г • • • H- %%ур) =
= Хя, K-^ii A--A eiv. (7)
Понятие минора матрицы позволяет выразить компоненты разложимого р-вектора X1A--A xv относительно базиса (ея) мо-
V
дуля Д E, соответствующего базису (е4) модуля Е, через компоненты элементов Xk относительно базиса (е{). Действительно, пусть X — матрица (?^) из п строк и р столбцов, /-м столбцом которой для 1</< р служит Xj; формула (7) показывает, что компонентой р-вектора XiA - A xD с индексом H служит минор р-го порядка матрицы X, имеющий H множеством индексов строк.
Рассмотрим теперь линейное отображение и модуля E=An в F=Am; пусть X — его матрица (из т строк и п столбцов) относительно канонических базисов (e3)i </<п и (Zi)i<i<m модулей EviF; по-
р
ставим своей целью найти матрицу p-й внешней степени Д и относи-
